高中数学中不等式证明的常用方法

郝嘉骏

摘 要：本文主要以高中数学中不等式证明的常用方法为重点进行阐述，结合当下高中数学中不等式证明的常见思想为主要依据，从比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、放缩法这几方面进行深入探讨与研究，其目的在于加强我们不等式证明的能力。

关键词：不等式;证明;常用方法

引言：高中数学中不等式的证明问题，因为方法多样、题型多变，外加没有规律可循，一般无法用一种方式就能优化，其是各种方法的灵活应用，也是多种思想方法的集中体现，为此难度相对较大。优化这个问题的主要方式为熟练掌握基本不等式与不等式的性质，灵活应用常用方法。本文主要针对高中数学中不等式证明的常用方法进行分析。

一、高中数学中不等式证明的常見思想

（一）分类思想

所谓分类思想指的是依据研究主体的某个属性的不同点与相同点，把研究主体分为多个类别，并对多个类别进行研究与探讨的数学思想。分类思想的掌握，有利于我们理解数学知识，提高知识获取能力，构建健全的数学知识网。

（二）数形结合思想

在高中数学中数和形为两个互相交叉的知识板块，所谓数形结合思想指的是通过数和形有效融合来优化数学问题，一直贯穿数学学习的始终，图解法、向量法以及幅书法皆是数形结合思想的主要运用，数形结合思想能够把简化繁杂的问题，将抽象知识具象化，进而让问题得到优化，在不等式证明学习中，我们需要合理应用图形图像，让我们有效理解数形结合思想，并让其加以使用。

（三）转化思想

所谓转化思维为我们依据已有的数学知识，利用联想、观察以及类比等方式，转换待求解的问题，直至转化为易解决问题的思想，我们倘若掌握了转化思想，便能够进行各种转化，例如用化归思想将多元方程转变为一元方程，将高次方程转为低次方程，在不等式证明中合理运用[1]。

二、高中数学中不等式证明的常用方法

（一）比较法

在高中数学中最常用也是最基础的一种不等式证明方法就是比较法，比较法又分为求差法与求商法。

第一，求差法。其理论依据为不等式的基本性质，主要的求差步骤为：首先作差，对不等式左右两边的构成进行考察，并把其看作是一个整体。其次变形，把不等式左右两边进行作差变形，既可以使其变成几个平方的和，还可以使其变成一个常数。变形最为重要的一点就是差值比较法，其中配方法和因式分解法较为常用。最后判断，根据上述变形的记过与题目中的已知条件，判断不等式左右两边的差，然后对不等式成立的结论进行肯定。一般情况下，求差法的适用范围为证明不等式两边为分式或是多项式时应用差值比较法。

第二，求商法。其主要步骤为：首先作商，对不等式左右两侧的式子进行作商;其次变形，把商式进行化简，使其为最简的形式;最后判断，把1和商的大小关系进行判断，即判断商是大于1还是小于1。求商法在通常情况下的使用范围为被证不等式两侧有指数式或是幂数式时，应用求商法[2]。

（二）分析法

分析法主要是指结合需要证明的不等式，对不等式成立的条件进行认真分析，并对该条件是否存在进行判断。分析法的基本思路和特点为执果索因，简单的讲就是从未知看到须知，再慢慢趋近已知。其逻辑关系是：B，B1，B2…Bn，A。

（三）综合法

所谓综合法就是应用已知事实当作基础，其中已知事实主要包含已经得到证明的不等式、已知条件、重要不等式等，结合不等式的性质和定理，实施逻辑推理，最终得到需要论证的不等式。综合法的基本思路与特点为由因导果，简单来说就是由已知看到须知，渐渐将结论推导出来，其基本思路与分析法正好是相反的。其逻辑关系是：A，B1，B2…Bn，B，即从已知条件A慢慢将不等式成立的必要条件推导出，进而得到结论B[3]。

（四）放缩法

对于不易论证的不等式A<B，放缩发则是依托一个或是多个中间变量通过适当的缩小或是放大，从而实现不等式证明的方式。应用放缩法对不等式证明的主要依据为：第一，不等式较强的传递性;第二，不等量同等量相加等于不等量;第三，异分母与同分子这两个分子式相比。经常使用的收缩技巧包含下述三种：一是加入一些项或是舍掉一些项;二是在分式之中缩小或是放大分母或是分子;三是使用均值不等式放缩。

（五）反证法

高中数学中有部分不等式的证明，从证明不好论证，而从反面则好论证，即对不等式A>B进行证明，首先需假设A≤B，从其他性质与题设，推出矛盾，进而肯定不等式A>B。凡是有“不可能”、“至多”、“不存在”等词语或是证明不等式为唯一命题与否定命题时，能够考虑使用反证法[4]。

（六）换元法

换元法针对的是部分变量较多或结构繁杂的不等式，在不等式中引入一个或是多个变量对结构繁杂的不等式进行替换，以简化初始结构或是实现某种变通和转化，为不等式证明带来新思路。具体换元形式有两种，其中包含三角代换法和增量换元法。前者一般都用到证明条件不等式上，在题目所给条件较为复杂繁琐时，一个变量没有办法利用另一个变量进行表示，这时可以通过三角代替的形式，利用同一个参数，对两个变量进行表示，三角代替的形式如果使用恰当，能够连接代数与三角间的关系，把繁杂的代数问题转变为三角问题结合具体问题。后者一般使用在对称式不等式上和给定字母顺序的不等式上，通过增量换元的方式，主要是利用换元进行减元，从而使问题从繁至简，从难至易。例如a+b=1，能够用a=1/2+t，b=1/2-t或是a=1-t，b=t换元。

三、结语

综上所述，在高中数学学习中不等式证明占据主体位置，此外在各种数学竞赛和每年高考试题中不等式证明也常常出现。证明不等式的方式有很多，本文主要阐述了一些不等式证明的常见方式，以期为提高我们不等式证明能力做铺垫。

参考文献

[1]潘娟娟，凌雪岷.高等数学中不等式证明的几类常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017，33（04）：1-3.

[2]夏静.高等数学中不等式证明的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2015，31（19）：19-20.

[3]曹军芳.高等数学中不等式证明的常用方法[J].佳木斯教育学院学报，2014（01）：220-221+227.

[4]黄东，苟一泉，赵中玲.高中数学中不等式的证明方法[J].湖南农机，2011，38（07）：171-172.