复杂截面桥梁寿命期可靠性设计分步优化

黄海新 刘丙勇 程寿山

摘要 针对传统复杂截面结构寿命期优化效率低及未考虑结构劣化效应的问题，将传统的直接以结构基本尺寸为优化变量的计算方案改为分3步优化：首先选取与截面造型无关的构件截面面积、抗弯惯矩、上下边缘距横截面中性轴的距离为中间变量，分别获得可靠度约束下的最优值，继而基于第一步优化结果，优化达到寿命期时所需的与构件造型有关的基本设计尺寸，最后考虑寿命期劣化效应的影响，逆向推算得结构初始设计尺寸。新型优化方案通过以构件共有的几何参数为中间变量，减少了复杂截面优化过程中直接以设计变量进行迭代的工作量，提高了优化效率及优化模式的适用性。寿命期劣化效应的考虑兼顾了优化模型的耐久性.通过算例与传统优化模式进行对比，验证了新型整体分步优化模式的精度与效率。

关 键 词 桥梁工程；可靠度；寿命期；分步优化；复杂截面

中图分类号 U441 文献标志码 A

基于可靠性的优化设计，由于能考虑结构材料、外部荷载等客观存在的不确定性，并在结构安全性和经济性之间能达到一种最佳的平衡，正被越来越多的工程技术和科研人员所关注[1-6]。许林、唐承、Adamantios M等[7-9]以结构体系可靠度为约束条件，以结构设计成本为目标函数，获得了结构设计变量的优化值，促进了确定性优化向不确定性优化的发展，但结构在寿命周期内的劣化性能并未考虑。王茜、陆春华、章金桥等[10-12]计入了结构性能的时变特性，但整体优化求解过程中，当截面造型复杂时则变量众多，求解效率不高，且难以反映构件可靠度在体系中的分布情况，对结构后期维护工作难以提供有效指导。针对传统结构寿命期优化未考虑结构劣化效应及复杂截面整体优化效率低的问题，引入与构件造型无关的中间设计变量，采用分步的求解思路，结合逆向反演的处理方式，以可靠度等为评价条件，最终获得计入结构劣化效应的与构件造型有关的初始基本设计尺寸，通过静定和超静定结构算例进行分析，检验了所提优化方案的计算效率及广泛适用性。

1 可靠性优化设计方案探析

1.1 传统优化设计方案

由结构的整体可靠度，基于最优化理论，考虑实际的财力、物力、结构自重、尺寸等限制条件构造优化方程[13-15]，优化结构的设计尺寸。数学优化模型为

目标函数 [minC=C（X）]， （1）

边界方程 [ βT（X，ρCC）≥βd]， （2）

[X=[xij] i=1，n； j=1，m]， （3）

式中：[C]为结构的初始建造费用；[X]为结构体系的设计变量；[xij]为构件[i]的第[j]个设计变量；[βT]为结构体系达到设计年限[T]时的可靠度值；[βd]为设计规定的体系可靠度最低值；[ρCC]为构件间的相关系数。

显然，上述模型的优化方案在整个优化过程中是直接以构件截面设计尺寸为变量进行迭代求解。但桥梁结构往往由诸多构件组成，而每一构件又由多个截面尺寸变量决定，尤其是复杂的I型、箱型等不规则截面（见图1），使得优化模型中变量数目众多，导致上述模型在实际优化过程中整体优化效率较低。

1.2 新型优化设计方案

针对传统方案优化复杂截面存在的不足，这里针对平面结构，引入与截面類型无关的截面面积[A]、抗弯惯矩[I]以及中性轴距离截面下边缘最大距离[hx]距上边缘最大距离[hs]作为中间优化变量，同时考虑构件劣化效应的影响并将其独立计入，将原有的据体系可靠度直接优化构件设计尺寸分为3步优化。第1步：基于造价最低原则优化分配可靠度值，求解中间变量；第2步：根据第1步结果优化各构件达到寿命期时的设计尺寸；第3步考虑寿命期劣化效应的影响，由寿命期时的设计尺寸叠加劣化损失量求得初始设计尺寸。新型优化设计方案流程图（见图2）。

图2中，将结构尺寸为设计变量的直接优化转为有中间变量的分布优化，有

[X=[xij]→[Ai，Ii，hxi，hsi]]。 （4）

优化过程中通过将设计变量的个数由[m×n]变为[4n]，每一构件[i]仅保留4个变量[Ai]，[Ii]，[hxi]和[hsi]，使得优化方案初期成为一个具有通用性的设计平台。

1.2.1 与构件造型无关的中间设计变量优化模型

1）模型的建立

在可靠度约束条件下，以造价最低为目标函数，基于中间设计变量可构建如下优化模型

目标函数 [minC=i=1nCi（Ai）]， （5）

边界条件 [βT（βm， ρmm）≥βd]， （6）

[IiA2i>bl]， （7）

[IiA2i

[Ai，Ii，hxi，hsi>0]， （9）

其中 [βm=ψ（βci，ρcc）]， （10）

[βci=h（Ai，Ii，hxi，hsi）]， （11）

式中：[Ci]为构件[i]的花费值；[Ai]为构件的截面面积；[βT]为达到设计年限T时体系可靠度值；[βd]为规定的寿命期体系可靠度最低容许值；[βm]为失效模式的可靠度值；[ρmm]为失效模式间的相关系数；[βci]构件[i]的可靠度值；[ρcc]构件间的相关系数。

需要说明的是，式（7）和（8）是为使变量值与工程实际相符而构建的抗弯惯矩与截面面积之间的约束条件。常量参数[bi]和[bu]在实际计算过程中的取值可根据工程需求加以调整。

对平面结构，结合可靠度理论和相关力学知识。

[βci=mRi-mSiσ2Ri+σ2Si]， （12）

式中：[mRi]为构件[i]的抗力均值；[mSi]为构件[i]的效应均值；[σRi]为构件[i]的抗力方差；[σSi]为构件[i]的效应方差。

2）模型的求解

对静定结构而言，各构件内力分布不受体系内构件刚度分布的影响，可直接根据作用求得构件效应值。对串联结构，有

[βm=iβci]。 （13）

同时，为便于求解结构可靠度值，对抗力和效应同时乘以[AiIi]，则式（12）变为

[βci=m*Ri-m*Si（σ*Ri）2+（σ*Si）2]， （14）

式中，带*变量为原变量与[AiIi]的乘积。

对超静定结构而言，其内力分布除与外部荷载有关外，还与体系内构件的刚度分布有关，所以需采用迭代的方法进行求解。

结合上述各式，利用MATLAB编制程序即可优化求解各构件达到设计年限T时的最优中间变量值。

1.2.2 与构件造型有关的寿命期基本设计变量优化模型

基于第1步优化出的与构件截面造型无关的中间设计变量，据此可建立第2步与截面造型有关的达到寿命期T时的关于基本设计变量的优化模型。考虑到寿命期内劣化效应的影响与构件在空气中裸露的面积有直接的关系，这里以横截面周长最小为目标函数，以此来优化截面基本设计尺寸，达到减小寿命劣化效应，提升结构耐久性的目标。

目标函数 [minL=Φ（Xi）]， （15）

边界条件 [f1（Xi）=A*if2（Xi）=I*if3（Xi）=h*xif4（Xi）=h*si]， （16）

式中，[A*i]，[I*i]，[h*xi]，[h*si]为基于第1步优化模型获得的构件i的中间变量优化值。

需要说明的是，要完全严格达到上述边界条件，有时是非常困难的，甚至难以获得有效解。实际使用中将等式约束稍加放松，以差值最小为目标更为现实。为此，这是通过构造泛函来重新建立优化模型。

[II=β1Δε2A+β2Δε2I+β3Δε2hx+β4Δε2hS]， （17）

其中 [ΔεA=f1（Xi）-A*i]， （18）

[ΔεI=f2（Xi）-I*i]， （19）

[Δεhx=f3（Xi）-h*xi]， （20）

[Δεhs=f4（Xi）-h*si]， （21）

式中：[βi]为惩罚因子；[Δε]为计算误差；[fi]为关于构件i的基本设计尺寸[Xi]的函数。

基于上述构建的与构件截面造型有关的优化模型，即可优化获得达到寿命期T时构件的基本设计尺寸。

1.2.3 计入寿命期劣化效应的初始基本设计尺寸

根据第2步优化得出的达到寿命期时结构最优设计尺寸，考虑劣化效应带来的影响，反向推演叠加劣化量，得出结构初始基本设计尺寸值，有

[X0=XT+ΔX]， （22）

式中：[X0]为结构的初始设计尺寸；[XT]为第2步优化得出的结构达到寿命期时最优设计尺寸；[ΔX]为寿命期内结构劣化效应尺寸量。

2 优化模型探析

2.1 非正态分布时构件可靠度的求解

正态分布时构件可靠度的数值可采用式（11）求解。而对于非正态的情况，可以采用当量正态化的方法，求得结构的可靠度值。正态化的条件是：1）正态化前后在设计验算点处的均值、方差和分布函数值相同；2）正态化前后在设计验算点处的概率密度函数值相等，见图3所示。

關于混凝土的劣化问题人们很早就有察觉并做了相应的研究。混凝土的耐久性很大程度取决于其自身的多孔性和渗透性，从而引发冻融破坏、碱骨料反应、中性化、氯盐腐蚀等等一系列问题，并得到了相应的劣化函数[17-18]。

3 算例测试

3.1 准确性与高效性验证

3.1.1 静定结构算例

图4给出一受随机荷载作用的静定结构。其中，构件①为桁架单元，构件②～④为梁单元。假设随机荷载呈正态分布，荷载均值分别为P1=20 kN，P2=20 kN，P3=2 kN，L=1 m。使用材料为钢材，强度标准值为235 MPa，弹性模量为2.06×105 MPa，荷载和材料强度的变异系数均取0.1。为模拟桥梁中活载作用下结构的内力正反效应，这里将P3分向下和向上2个作用方向分别进行工况分析。图4仅给出了向下作用载荷工况。

经系统可靠度分析，2种工况下，结构第1种失效模式为②、③、④构件弯剪组合失效，第2种失效模式为①构件受压失效。2种失效模式间等效为串联。

取结构体系可靠度界限指标为2，以造价最低为目标，针对I型截面分别采用传统优化方案和新型分步优化方案进行结构优化设计，迭代过程见图5、图6和图7。

由图5和图6可知，新型方案和传统方案的在获得最优解（☆标注）的过程中均经过了多次迭代。优化初期，基于相同的截面初值，因构件②、③的截面弯矩大于构件④，可靠度指标很小，为满足目标可靠度指标的约束条件，截面尺寸需加大，可靠指标度初期提升明显，而构件④由于弯矩较小，初始可靠度指标较高，为获得整体造价最低，可靠度指标初期迅速降低，构件①仅受轴力，截面需求不高，故初期亦下降明显。新方案第1步优化模型最优结果与老方案优化结果十分接近，说明新型方案的计算精度是有保障的；同时，从各构件最优结果对比可发现，②构件可靠度值最小，究其原因，其作用效应最大，单位可靠度花费自然最高，为满足总体结构造价最低，截面尺寸必然最小，而构件④恰好与其相反。显然，结构体系最终失效模式表现为构件②的弯剪组合失效。

图7以构件③为例，选取与传统优化方案相同的I型截面，给出了利用第2步模型基于第1步优化结果进行与截面造型有关的基本尺寸变量的优化曲线。最优设计尺寸对应的可靠度指标为2.62，与第1步优化结果可靠度指标2.58吻合很好。

从计算效率看，图5中传统优化方案直接以截面设计尺寸为优化变量，耗时300 s时搜索过程结束，从中获得最优解。根据图6和图7可知，新型优化方案结构整体第1步优化时长30 s，第2步优化时长50 s，2步总计80 s时搜索过程结束，从中得出最优解。可见新型优化方案运算效率还是较高的。

3.1.2 超静定结构算例

图8为一带系杆的两铰拱，跨径[L=2 m]，荷载P = 10 kN。主拱和系杆均为复杂截面。系杆、主拱横截面面积分别为[A1]和[A2]，主拱抗弯惯矩为[I2]，中性轴距离截面上下缘的最大距离分别为[hs2]和[hx2]。材料为钢材，强度标准值为235 MPa，弹性模量为2.06×105 MPa，拱顶处受集中荷载P作用。荷载和材料特性变异系数均取0.1，结构体系最低可靠度界限指标为2。

图9、图10和图11给出了体系中主拱和系杆新老方案优化过程中的可靠度变化情况。结构体系可靠度界限指标为2，构件为I型截面。

由图9和图10可见，传统方案和新型方案优化过程中的变化趋势基本相同。在构件初值相同的条件下，主拱弯矩、轴力作用效应远大于系杆，使得系杆初始可靠度值大大高于主拱，在满足可靠度约束的条件下，为获得最低的造价，系杆可靠度指标迅速下降。由于主拱造价占结构体系总造价的比例较高，在达到最优结果时（☆标注），其可靠度值相对于系杆较低，这也充分体现了系杆拱桥中系杆的重要性，确保体系在拱脚处不出现无水平推力。

图11以主拱为例，同样选取I型截面，给出了利用第2步模型基于第1步优化结果进行与截面造型有关的基本尺寸变量的优化曲线，最优解对应的可靠度指标为2.09，与第1步优化结果可靠度指标2.10十分接近，满足可靠度边界条件。

从计算效率看，图9中传统优化方案达到2 200 s时停止优化搜索，从中得出直接以截面设计尺寸为优化变量的最优解。而从图10和图11可知，新型优化方案第1步优化时长130 s，第2步时长470 s，总计600 s时搜索过程结束，从中得出最优解。可见，对本超静定结构算例来说，新型优化方案高效性亦十分明显。

需要指出的是，由于桥梁结构在实际实施中，梁宽与梁高受到桥面宽度以及桥下净空等诸多条件的限制，第2步优化模型可根据实际工程情况适当增加边界条件，以使优化出的截面基本尺寸更加合理符合现实需求。如对I型截面，可设定边界条件[b1>b2]，[b3>b2]，避免出现“中”型截面；对箱型截面，可增设[b3>2b2]，[h2>h3]边界条件，防止优化截面出现异常。同时，第2步优化中应突出对关乎造价的截面面积差值的惩罚，以与第1步的优化目标相协调。

3.2 考虑寿命期劣化效应的影响

为确保结构具有足够的耐久性，结构最终初始设计尺寸应计入结构在服役期内的劣化效应，即有必要实施新型方案的第3步。这里选取Kayser等人给出的钢材劣化函数

[C=AtB]， （23）式中：[C]为钢材的平均锈蚀厚度，单位μm；[t]为时间，单位a；[A]和[B]为影响腐蚀的系数，与环境及钢材种类有关。

以I型截面为例，根据式（23）可获得100 a寿命期内结构劣化效应尺寸量[ΔX]，利用式（22）反向累加得到结构初始设计尺寸。表1给出了静定结构算例考虑劣化效应后I型截面设计尺寸初值。

4 结论

1）通过引入与截面造型无关的中间设计变量，构建了基于可靠性约束的分步优化模型，改善了传统直接以构件截面尺寸为设计变量进行迭代优化，对截面造型复杂且构件数量众多结构效率较低的问题。

2）基于分步优化模型，通过分别对静定和超静定结构算例进行测试，检验了模型的精度与效率。且优化模型无需提前获知结构大致尺寸，一定程度上降低了设计人员的工作强度。

3）基于劣化函数，采用反演累加的方式，考虑了结构劣化对结构基本设计尺寸带来的影响，获得了寿命期内具有足够耐久性的桥梁设计方案，方法简单、便于操作。

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[责任编辑 杨 屹]