是什么？教什么？怎么教？

刘正松

【摘   要】随着教育教学理论的不断更新，各种教学实验、模式层出不穷，让人目不暇接，这在有意无意间混淆了一线教师的视听。通过对一道相关习题的教学分析，可以让教师进一步明确理想的教学理应回归简单的道理。面对不同的教学内容，应当深究其本质是什么、应该教什么以及如何实施教学这三个问题，如此，教师才有底气走进课堂。

【关键词】折线统计图;函数图象;铺垫;演示;变式

这是苏教版小学数学教材五年级下册第116页上的一道习题（见图1）。

在学生认识了折线统计图并会用折线统计图直观地表示数据后，类似的习题在各种教辅材料中出镜率很高。从学生居高不下的错误率可以看出这绝对可以算是一道难题，可类似的问题是第二学段学生认识“折线统计图”的实际应用吗？学生认知的难点在哪里？既然教材中出现了，又该如何教学？这些问题一直萦绕在笔者脑海中。

是什么？

虽然一直对这题心存疑虑，但并未追根究底。无意间在中学教材中看到这样一题（见图2）。

这是苏教版中学数学教材八年级上册第139-140页第6章“一次函数”中的一道例题。这样一比较，我们不难看出，其实我们五年级研究的“小明去图书馆的问题”就是八年级函数的有关内容。那么，折线统计图（如图3）和函数图象（如图4）究竟有什么联系与区别呢？

一、折线统计图与函数图象的联系

1.两者图象相似

折线统计图和函数图象都是在平面直角坐标系上描点、连线，画出相应的折线图，两者图象相似，容易产生误导，有人误认为折线统计图与函数图象是一回事。

2.两者都可以表示两个量之间的对应关系

折线统计图表示的数据与相应的时间相对应，统计数据随着统计时间的变化而变化，两者存在一种对应关系。

函数图象是以函数的自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形。自变量变化，函数都有唯一确定的值与之对应。如汽车以100km/h的速度匀速行驶，汽车行驶的时间为t（h），汽车行驶的路程为y（km）。那么y与t的函数关系式是y=100t，它的图象如图4所示。路程一直随着时间的变化而变化。

二、折线统计图与函数图象的区别

1.两者知识领域不同

折线统计图是第二学段“统计与概率”领域的知识，它把统计数据随时间变化的情况描点连线，进而便于判断数据的变化趋势。

函数图象是第三学段“数与代数”领域的知识，它是平面直角坐标系上的图形，用来直观地研究函数的性质及解决问题。

2.两者图象上点的意义不同

折线统计图上的点是根据调查得到的数据描点连线，这些描出的点是真实存在的点，表示统计对象的一对对变量的真实取值，而这些点之间的连线上的任意一点不一定表示统计对象的真实数据，只表示一种模拟的、可能的数据，因为这两个时刻之间的一段时间没有任何调查的真实数据。虽然数据作为一种变量，可能是连续的，如身高作为一种变量是连续的，但统计的身高数据往往是离散的，一般情况下对一个人不需要连续不断地测身高，隔一段时间测一次便可。因而折线统计图一般表示的是离散的数据，虽然表面上看是连续的，但实际上只表示一种趋势。

函数图象是函数的一种表达方式，函数图象上的每个点都有确定的意义，它表示自变量和因变量的一对对取值，也就是说在函数图象上任意取一点，就相应地有一对函数的自变量和因变量的取值与之对应;有一对函数的自变量和因变量的取值，图象上就相应地有一个点与之对应。

教什么？

通过比对第二学段的折线统计图与第三学段的函数图象，我们不难发现，两者压根不是一回事。那么，学生学完折线统计图的知识，直接上手解决“小明去图书馆的问题”必然有不可逾越的鸿沟。当然，这并不表示在第二学段就不能拓展相应的探究，关键是要找准学生解决这类问题的难点，这就是教学要重点突破的地方，用这样的思维去思考，问题反而变得清晰了。既然题目中呈现的“折线统计图”和学生经验世界中的折线统计图根本不是一回事，学生用已有的经验无法顺利读图，那么，引领学生正确读图自然成为教学的重点。笔者对几位五年级学生进行了访谈，对于“小明去图书馆的问题”，他们的认知障碍主要集中在两处：一是图中平的那一段折线的实际意义，学生看到折线往前延长，潜意识中会感觉路程在增加，而实际这里路程根本没有增加，这是有冲突的;二是折线下行的那一段直至回到横轴，表示回到起點，学生看到的终点和起点明明不在一个点上，却说回到起点，学生一时无法理解。学生若能读懂这里折线图的实际意义，解决下面几个问题自然就不是难事。因此，教师教学这一问题时不应抱着练习题的心态去教学，以解决习题中的几个问题为目标，而应当将此作为一个新授内容去教学，浙教版小学数学教材中就单独编排了这一内容——运行图。笔者以为，“运行图”这一名称直接表达出其与一般的折线统计图的区别，显然是更为智慧的选择。

相对于“引领学生正确读图”这一教学明线，教学前我们还应深入思考这一内容的教学暗线——发展学生的数学核心素养。

一、让学生经历抽象的过程

数学抽象是舍去数学对象非本质属性的思维过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征。“小明去图书馆的问题”中，学生读取文字信息是非常容易的，我们在此基础上逐步出示图象，形成完整的运行图，表征小明的运动过程。将文字转换成图象，更加简洁直观，这也是一个从具体到抽象的过程，逐步培养学生用数学的眼光观察世界的能力。

二、让学生经历推理的过程

推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。从某种程度上说，数学问题解决的过程就是推理的过程。“小明去图书馆的问题”同样如此，学生解决这一问题必然结合图文，根据已知信息或分析，或综合，一步步推理，直至解决整个问题。学生在这样的过程中会慢慢学会用数学的思维思考世界。

三、让学生经历建模的过程

数学建模是指对现实问题进行数学抽象，构建数学模型，用数学语言表达问题，用数学知识与方法解决问题的思维过程。“小明去图书馆的问题”教学实施时，可以先让学生用文字语言描述行走过程，然后抽象成数学表达——运行图，最后借助数学符号解决问题。这正是建模的过程，长此以往，学生自然会形成用数学的语言表达世界的能力。

怎么教？

对于一线教师而言，最关心的还是怎么教的问题。笔者认为教学中应关注以下三点。

一、适度的铺垫

虽然折线统计图与运行图形似而神散，但毕竟有相似之处，因此，对折线统计图的深刻认识是学习运行图的重要基础。

针对学生理解运行图的障碍，教师可以出示一日温度变化的折线统计图，从中追问几个问题：从8时到12时温度上升，折线是怎样的？从12时到14时温度不变，折线是怎样的？14时以后温度下降了折线会怎样？

二、动态的演示

教材受特定条件的限制，往往不能呈现动态的图，这并不代表教师只能将教材中的内容进行打包教学，现实中这样做也是行不通的。

因此，当情境变换后，过渡到运行图，不能一下子整体呈现，可以先找具体的有典型意义的点，追问这些点的实际意义，比如：起点、第一次转折点、平移起点、第二次转折点、回归点……通过追问，澄清学生认识中的模糊点，为正确读图做好准备。当学生初步认识了运行图中每一个节点的实际意义后，再用课件连贯地演示一下表示运动物体的点的运动轨迹，这样动态的演示，让学生从头到尾连贯地感知运行图的形成过程，形成对运行图的完整认识，这是一个由具體的文字情境抽象为纯数学的运行图的过程。

三、丰富的变式

众所周知，对于任何一个知识点的学习，如果只基于一种情境，学生的认识不会丰满直至深刻，因此，适度的变式可以丰富学生的体验，深化学生对问题本质的认识。

前面的动态呈现已分解了学生学习的难点，为及时巩固已有成果，可以分步出示五幅运行图，让学生看图说话，用类似讲故事的方式解读运行图，第一幅图是一辆车从甲地匀速到乙地;第二幅图是一辆车从甲地先到乙地然后加速到丙地;第三幅图是一辆车从甲地到乙地，休息一段时间后，再到丙地;第四幅图是一辆车从甲地到乙地，再回到甲地;第五幅图是一辆车从甲地到乙地，休息一段时间后，再回到甲地。通过这一连串的看图说话，学生对运行图的认识更为具体。

综上，小学数学教学理应回归简单，面对不同的教学内容，我们应追问其本质是什么？我们需要教什么？面对不同的学生，我们又该怎样教？而想轻松自如地回答这三个问题，备课时需要真正深入教材，仔细研读，同时我们的目光不能囿于某一套教材，而应关注不同版本的教材，甚至是初中的教材。

（江苏省南京师范大学附属中学新城小学   210019）