方格图在学生“面积认知”中的作用

邱月亮

【摘   要】在面积教学中，方格图往往不被教师所关注，只是充当教学的“配角”。其实，它作为面积的一种度量工具，在学生面积认知过程中起到积极的作用，是学生理解“高”的实质的重要途径，也是培养学生空间观念的主要载体。

【关键词】小学数学;方格图;面积教学

在小学数学教学中，方格图有着广泛的运用。笔者认为，它在学生面积认知方面的作用，值得我们探討，应引起一线教师的重视。

一、方格图是面积的度量工具

与长度一样，学生对面积的认知，也需经历“比较→测量→计算”的过程。

人们在对图形的大小进行比较的过程中，会产生（或需要）一个参照物，这个参照物起到一个标准的作用，即面积的度量单位。在多种面积度量单位中，以单位长度为边长的正方形最适合做面积的度量单位。

有了面积的度量单位，我们用它以摆放（或拼铺）的方式，去度量图形的大小。以课本封面为例，可用小正方形一个一个地密铺它，从而得到课本封面以这个小正方形为标准的量数，即它的面积。当把一个一个相同的小正方形排在一起（譬如印在一张纸上）时，就有了测量面积而用的方格图，它的产生与量长度所用的尺子的产生是一样的道理。

但方格图不像尺子那样标有刻度，可以直接读出度量的结果，当得到的测量结果不能达到我们所要的精确度的时候，我们便会寻求更好的方法——计算。

由此可以看出，方格图在这个过程中的出现，不仅需要，更是必然，它是学生从“数”图形面积到计算图形面积这一认知过程中，需要经过的一个思维点，是学生面积认知过程中的一个发展性标志。

方格图是度量图形面积的工具，沪教版教材五年级上册P64中小白兔用 “透明厘米方格纸”测量面积的“尺子”就是方格图。

我国台湾地区南一书局版教材三年级下册，把方格图印制在透明塑料板上，即“每小格面积都是1平方公分的透明板叫作平方公分板”（注：台湾地区把厘米称作公分），要求学生“把平方公分板放在图形上，格线边对齐”“用平方公分板量量看，图形的面积是几平方公分”。

事实上，在许多教材中，都有用方格图来求像树叶那样封闭曲线图形面积的内容，现行的日本小学数学教材，在进行圆面积教学时，先用方格图来求圆的面积，然后再让学生探求圆面积的计算公式，说明方格图是求图形面积的一种基本方法。

面积教学与长度教学有许多相似之处， 由此可以想象，测量体积的工具也应该是“存在”的，只不过是我们较难把它以实物的形式表示出来。显然，三种不同几何属性的度量工具，处于三个不同的层次，而正是这种差异，才使我们对几何世界的认识具有阶段性和层次性。

有时候用方格图度量图形面积相对于计算还更简洁， 例如“一个三角形的三条边长分别为5，[32]，[13]，求这个三角形的面积”。

在方格图上，我们先画一条5个单位长度的线段AB，然后根据[32]和[13]分别是3×3和2×3矩形的对角线之长，不难找到C点，把符合条件的三角形画到方格图上。显然，这个三角形的面积是5×3÷2（如图1）。

二、方格图是学生理解“高”的实质的重要途径

小学阶段的平面图形中，涉及高概念的基本图形有三个，即平行四边形、三角形和梯形。认识高，是因为面积计算所需要。从这个角度看，高的本质是构成该图形的两条平行线之间的距离（三角形的高则是过顶点且与对边平行的两平行线之间的距离）。这个距离，我们是用单位长度来计量的，反映在面积计算中，此单位长度的个数，就是那些密铺这个图形的小正方形之行数。

由于我们把高定义成是一条线段，学生就只看到显性的一面，而没有认识到反映本质的另一面。如在平行四边形的面积计算中，当我们不告诉学生底与高相应的数据，而让学生自行量有关数据，学生往往会把底的邻边当作高进行计算。殊不知，两者的本质含义是不一样的，邻边的长只表示所含单位长度的数量，而高的长既表示所含单位长度的数量，又表示密铺平行四边形之小正方形的行数。如果我们利用方格图进行教学，即把平行四边形置于方格图中，那么高是两条平行线之间的距离，也就是两条平行线之间小方格的行数这一本质显而易见，学生对于“底×高”的含义，即“底边上小方格的列数×小方格的行数”也就一目了然了。

我国台湾地区南一书局版小学数学教材，不仅把平行四边形、三角形和梯形的面积教学置于方格图中，还特意把高之概念教学也放在方格图中进行，或许就是基于上述之理由。

不难想象，如果我们不利用方格图进行平行四边形、三角形和梯形的面积教学，那么学生对高的认识，很有可能还是停留在“是一条线段”的水平。因此，方格图是学生进一步理解高的重要途径。基于这样的认识，如果我们把教材中的相关内容（如图2），改成如图3所示，即不把高线画在方格线上，或许更为贴切。

三、方格图是培养学生空间观念的重要载体

学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，并以适当的形式表示出来，不仅是培养学生空间观念的一个重要方面，也是衡量学生空间观念发展水平的一个重要标志。

面积大小是平面图形的一种基本属性。在以单位长度为边长的正方形做面积单位的度量规则之下，方格图既是这种属性的量化工具，也是这种属性显现的媒介。因此，学生对平面图形大小表象的建立及表述，一般需要借助方格图才能实现。也就是说，如果离开了它，那么头脑中所建立的图形大小之表象会失真;如果不依赖于它，那么头脑中图形大小的表象也就较难正确地被表示出来。

譬如，类似“有一个图形，它的面积是28平方厘米，这个图形是什么？根据你的想象，把它画在边长为1厘米的方格图纸上”这样的习题，如果没有方格图做支撑，学生就无法把头脑中的图形正确地表示出来，教师也就不能了解学生空间观念发展水平的差异。所以说，方格图也是培养学生空间观念不可缺少的载体。

综上所述，方格图在学生面积认知方面有重要的价值，尽管它以“配角”的形式出现，但我们绝对不能轻视它。

（浙江省海盐县教育研究与教师培训中心   314300）