思维重构：课堂中再现数学家的思维

丁益民

摘    要：数学教学中存在着隐性的数学家思维活动，研究数学家思维活动中的方式、过程和成果，选择符合学生认知规律的思维要素加以整合重组，并且在课堂教学中进行思维重构，让学生在感悟数学家思维魅力的同时深度学习数学知识，学会用数学家的眼光分析问题，形成数学学习的关键能力.

关键词：数学家思维;思维重构;深度学习

在数学教学中存在着三种思维活动[1]，包括隐性的数学家的思维活动和显性的师生的思维活动.数学家尽管不是数学活动的直接参与者，但由于数学知识是数学家思维活动的成果体现，其思维方法和研究过程可以成为学生进行思维的示范，他们的思维通过文本形式和教师的二次加工影响着学生的思维.因此，在教学中若能对数学家的思维进行提炼、整合和重组，并在课堂中进行思维重构，便能发挥其在思维示范与引导上的教学功能，让学生在思维重构中感受数学文化，提升思维品质，进而促成深度学习.本文试借实例，谈谈数学家思维在教学中思维重构的具体实施.

一、重现思维困境 理性建构概念

众所周知，教材呈现的数学知识是数学家的思维成果，而且教材在编写时往往按照知识的逻辑体系进行，而这种逻辑体系下的知识呈现与知识的历史真实发现过程往往存在差异.按照教材体系所进行的学习活动是把学习当成纯粹的逻辑推理展开的，但是学生在进行概念建构时的那种“意义赋予”的过程都将彻底隐藏.在这样的过程中学生很难体会到数学家思维过程的艰辛，学生的思维活动很可能被教师的讲解所支配，学生只能进行着低层次的不连贯的思维操作.因此，为了还原知识发生的本真面目，体验数学家的思维历程，可以对数学家研究的过程进行解密，运用历史相似性进行思维重构的教学实践.

案例1：立体几何“棱柱”定义

很多学生都认为命题“有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫作棱柱”是正确的，并且尝试以此作为棱柱的定义.

这样的认知几乎与欧几里得《几何原本》中的棱柱定义如出一辙，但其实它是一个假命题，并且在长达2000多年的时间里数学家们都认为它是正确的.可见，学生对棱柱定义的认知具有历史相似性.在教学中，我们可以对棱柱定义进行数学家思维的重构，让学生经历“棱柱”定义的发生与发展的过程，纠正错误的认知，理性建构“棱柱”概念.为此，可设计如下活动.

活动1   教师让学生尝试用自己的语言给棱柱下定义，并以小组为单位进行交流讨论，并对他们的定义进行归类总结.结果如表1所示.

呈现如图1的多面体否定命题1.

呈现如图2的多面体否定命题2，并介绍有关“棱柱”的数学史：

欧几里得在《几何原本》第11卷中最早给出棱柱的定义：“一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形.”由于欧几里得的影响，2000多年里，人们都没有怀疑过欧几里得的定义.直到1916年，美国数学家斯顿等人才发现该定义是错误的，并且举出一个经典的反例.

通过进一步分析可以看到定义3和定义4都关注到侧棱的特征对棱柱定义的影响，定义5则从运动的角度定义了棱柱，这也具有历史相似性，教师可再适时介绍历史上棱柱动态定义的史实.最后，总结历史上棱柱定义经历的三个阶段：①欧氏定义一统天下;②欧氏定义的改进;③动态定义的产生.

活动3   用运动的方式准确定义棱柱.

上述设计对数学史知识进行了整合与简化，是数学家思维的重构实践，让学生认识到“棱柱”概念的形成经历了漫长的历史过程，“棱柱”概念的形成是最接近历史客观事实的建构过程.笔者认为，只有尽可能地再现数学概念的产生，才可能学习数学家的思维方式，才可能形成理性的思维.

二、改编思维成果 感悟数学思想

为了既发挥数学史故事的趣味特性，又能体现数学家思维成果的教學价值，我们可以在教学中在不失真的前提下对这些数学史故事进行改编加工，巧妙地将其融入教学的某些环节中去，让学生在欣赏数学家思维魅力的同时，感悟其中蕴含的数学思想方法.

案例2：“直线的斜率”第1课时

这是一次到外校借班上课的课题，陌生的教学环境，学生难免会出现紧张和思维不匹配等现象.为此，笔者设置了如下的开场白：虽然第一次和大家见面，可我却很用“心”，瞧图3，一颗红心代我心.（学生满堂大笑）师继续：是否可以用数学的方法准确完美地画出这颗“心形图”呢？师引导：“心形图”是由一条平面曲线（“心形曲线”）围成，我们知道点动成线，点能不能准确刻画出来？（学生知道在坐标系中用坐标表示）如果我们能找到“心形曲线”上所有点的横坐标和纵坐标的关系就可以作出“心形曲线”了.的确，聪明的数学家笛卡尔就是通过研究出坐标间的关系：x2+y2+ax=[ax2+y2]和x2+y2-ax=[ax2+y2]（[a>0]）作出了“心形曲线”，这个过程给我们的启示：通过代数的方法也可以研究几何问题啊，这就是今天开始我们要学习的解析几何.

上述案例是基于学生的认知基础和年龄特点，由于课堂上不适宜讲笛卡尔的“心形曲线”的爱情故事，通过改编将其巧妙地融入师生见面的开场白，不仅化解了师生初次见面时的陌生与尴尬，还将引入的情境与本章的思想方法进行无缝衔接，既不突兀又富有启发性.从一整章的起始课情境引入便渗透“代数的方法研究几何问题”的数学思想，对学生的认知将产生观念冲击，而这一观念将在后面具体学习“直线的斜率”时再次体验，并在后面整个教学单元的学习中不断实践与感悟.所以，从功能上看，改编数学家笛卡尔的“心形曲线”故事，发挥了数学史料的先行组织者功能，对学生整体认知和深度学习解析几何是有益的.

三、模拟思维过程 引导建构知识

数学知识的产生本身就经历漫长而曲折的历史过程，这其中饱含了数学家独特的思维方式和研究方法，其抽象程度不言而喻，要让学生能在短期内进行自主建构几乎不可能.为了帮助学生进行有意义的建构活动，我们可对这些知识产生的历史过程进行意义提取后适度整合，将其中的关键过程或环节进行似真模拟，让学生尝试从数学家的视角进行模拟建构，在与历史相似的模拟情境中产生认知的原动力，进而促进知识的有意义建构，形成有价值的基本活动经验.

案例3：“对数的概念”（第1课时）

这是笔者参加的一次市级教学比赛，由于承办学校实际教学进度滞后，在本节课前，学生并没有系统学习“指数”与“指数函数”等内容，这一情形恰好与历史上“对数”产生的背景极其相似，因此，在教学中模拟数学家的思维进行“对数”的发现.

情境创设：早在17世纪，航海、天文、贸易迅速发展，人们需要面对越来越繁难的计算.比如299792.458（光在真空中的速度） ×31536000（一年的秒数）=？（1光年），这样的距离单位在天文学里经常用到.为此，数学家们不断探索研究优化运算的方法，这其中不得不提苏格兰数学家纳皮尔，他经过至少20年的潜心研究，终于有所突破.那么，他是怎么研究的呢？下面，我们模拟一下数学家的研究历程.

不用计算器，请计算以下各式的结果.

（1）16×256=

（2）256×4096=

（3）4096×32768=

随着数据越来越大，运算将越来越麻烦.

引导分析：16可以表示成24，256可以表示成28……我们可事先制一张表（如表2）.由于16×256=24×28=212，通过查表，在表中可以找到212的值，其他的结果类似.

得到启示：将两个特别大的数相乘转化为两个较小的数相加.

按照上面的过程，若找到两个数m，n，使2m=299792.458 ，2n=31536000，那么就可优化运算.

有了这样的“模拟”情境，接下去的活动设计便顺畅了.如：

活动1 回忆初中开方运算“根式”的定义.

活动2  类比“开方运算”的研究过程，解决形如“2m=299792.458”的方程问题，逐步建构出“对数”的概念.

在这个案例中，模拟数学家研究过程（“对数思想”）为后续的知识形成提供了思维方向，这样的模拟不仅解决了发明“对数”的必要性和重要性等问题，还为进一步的思维活动提供逻辑基础和研究动力.显然，通过对数学家思维的似真模拟来发现“对数”，更能揭示知识的本原，也更促使学生形成最可靠的基本活动经验.

四、示范思维方式 拓展认知视野

在教學中我们可以适时地展示数学家如何思考问题，特别是数学家在遇到困难时如何选用合适的思维视角（方式）解决问题，将数学家解决问题的思维视角介绍给学生，让学生在数学家思维方式的指引下进行认知突破，学习他们研究和解决数学问题的思维方式（方法）.

案例4：“两角和与差的正余弦”（第1课时）

情境创设：我们已学习了三角函数的定义，并知道一些特殊角的三角函数值，如cos60°，sin45°，cos30°等，试问不用计算器你会求cos15°的值吗？

将cos15°变形为cos15°=cos（60°-45°），进而猜想cos（60°-45°）=cos60°-cos45°.

发现猜想不正确，那么cos（60°-45°）=？更一般的问题cos（[α-β]）=？

学生遇到了认知困难，此时，教师介绍：

数学家们在研究三角运算时也遇到了我们上面的困难，但是他们不断地探索研究，最先他们通过几何法来研究三角运算，如古希腊数学家托勒密与帕普斯，他们都经过长期不懈的努力，运用几何的方法解决了很多三角运算的问题（如托勒密与“弦表”，帕普斯通过构造几何图形证明三角公式），接下来，我们尝试从数学家的几何视角来研究这个问题.

图4是“无字证明图”，你能发现cos（[α-β]）=？

让学生更多地自由思考、自由讨论.

师生共同发现结论：

cos（[α-β]）=cos[α]cos[ β+sin][α]sin [β].

提出问题：无字证明很有创造性，我们能否用其他学习过的知识来证明呢？

在案例4中，通过介绍数学家解决三角问题的研究视角，让学生学习用数学家的眼光分析和解决问题，学生在体验数学家极具创造性的思维成果（“无字证明图”）的同时，感受到数学家思维的动力与魅力，极大地调动了学生进行探究学习的积极性.而且他们还将体会到遇到困难和挫折时要不断地探索，尝试学习前人（他人）的思维进行自己的思考.另外，这样的活动过程还将为学生进一步自主探究提供思维范式.

在思维重构的具体实施中，必须充分发挥数学家的思维的引导与示范功能，还要关注数学知识的本质，关注数学的思想方法，关注学生的认知起点，要让学生在具体活动中感悟数学家的思维方式、思维历程、思维品质等，进而帮助学生理解数学本质，进行深度学习.[□][◢]

参考文献：

[1]张乃达.数学思维与数学文化[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014（1）：15-23.