2018年小学数学教育热点问题探讨

◇本刊特约撰稿人/邱学华 张良朋

2018年，我国小学数学教育继续保持稳中求进的发展态势，相关的理论研究和实践探索在继承的基础上不断走向深入。数学学科核心素养作为近年来数学教育界的主流话题，广大数学教育研究者及一线教师对其高度关注并进行了多视角、多维度、多层次的探索和研讨。现阶段主要围绕数学学科核心素养的价值体现、内涵界定、课程实施、教学评价等问题进行研讨，深层剖析数学学科核心素养体系建构的理论基础和学科框架，不断挖掘、尝试和提炼其向实践转化的策略。限于篇幅，本文主要针对与数学学科核心素养有密切关联的数学必备品格、数学关键能力、结构化教学、儿童代数思维、数学文化课等热点问题的新进展进行综述，期望引发大家进一步的关注和探讨。

一 数学学科核心素养内涵的再探讨

近几年，不少研究者对数学学科核心素养的内涵有较多的探讨，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《高中课标 2017》）明确提出了数学学科核心素养的六个方面，这对我们进一步思考义务教育阶段数学学科核心素养提供了很多有益的启示。

马云鹏教授等基于 《高中课标2017》 的启示，认为《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《义务教育课标2011》）中虽然没有明确提出数学学科核心素养，但提出的十个核心概念可以看作数学学科核心素养的雏形，并认为义务教育阶段的数学学科核心素养可以确定为初步的抽象能力、推理能力、模型思想、运算能力、几何直观和数据分析观念。原来的应用意识和创新意识不是数学学科特有的素养，可以作为学生发展核心素养来理解和培养。针对如何在小学数学教学中培养学生的核心素养，他结合具体课例提炼了三种教学策略：（1）选择数学核心内容，进行单元整体分析；（2）创设真实问题情境，引发学生认知冲突；（3）聚焦核心素养，开展富于思考的探究活动[1]。

任子朝教授等综合国内专家的研究成果，认为数学学科核心素养具有基础性、综合性、阶段性和个体差异性。基础性是指数学学科核心素养对人的影响是长久的。它是从育人的高度把对学生终身发展具有奠基意义的、具有高度统摄性的数学思想、方法及知识抽象出来所形成的。从价值取向上看，它是个体适应未来优质生活和终身发展所必需的。综合性是指数学学科核心素养是学习者对其所拥有的数学知识、数学能力、数学态度、数学品质等的有效整合，而不是简单的相加。阶段性是指学生的数学学科核心素养在不同的发展阶段有不同层次的要求和表现。个体差异性是指不同的个体在发展过程中其数学素养不是整齐划一的，而是表现出个体的差异性[2]。

张奠宙先生等基于相关研究进展指出，未来公民应具备的数学学科核心素养大体包含数学思维方式、数学关键能力以及通过数学活动进行人格养成等三部分，即“量化精准”的意识，“数据+算法”的思维，以及“数学智慧”的文明信念。在数学学科教育上，张先生归纳出了三点重要经验：（1）由数学的精确性养成“严肃认真”的工作态度；（2）由数学的严谨性培育“一丝不苟”的思维品质；（3）由数学的抽象难懂锤炼“勇敢上进”的性格意志[3]。

关于数学学科核心素养，笔者的观点是，应该从小学、初中到高中乃至大学，将其统一为一种能够前后贯通的提法，然后分学段、分年级制定层级标准（均包括基础素养层、数学学科核心素养层两个层面的标准，如图1），真正解决每一学段、每一年级数学学科核心素养如何贯通学生发展核心素养的问题。

图1

二 数学必备品格的探讨

深化课程改革理应以彰显育人为本作为价值导向，但要真正转化为具体的教学实践挑战性很大。孙晓天教授指出，数学学科核心素养要成为数学课程改革的新动力，还需要把什么是必备品格及必备品格的意义等问题梳理清楚。比起那些大家熟知的关键能力，必备品格才是核心素养带给我们的新元素，体现出数学课程目标前所未有的新意。而且，必备品格的出现完善了数学课程的目标结构，是数学课程的底线目标，意义重大[4]。

徐云鸿老师等认为，数学品格的育人价值主要包括或者说集中体现在思维严谨与理性精神两个方面。思维的严谨性，是指思考问题符合逻辑、严密、有根据；重视结论成立的条件，不但关注明显的，还留意并挖掘隐蔽的；能够找出问题的全部答案而无遗漏。思维严谨主要体现在思维缜密、有理有据、一丝不苟和规则意识这四个方面。所谓理性精神，是指人们在认识活动中，对感性材料进行抽象概括和分析综合，形成一系列概念、判断和推理，从而寻求事物本质和规律的探索精神。理性精神主要体现在独立思考、探索创新、长于质疑、善于反思和求真求实这五个方面[5]。

周卫东老师认为，数学必备品格是数学学科核心素养的重要组成部分，是数学学科所赋予学生的独特的，在未来的成人社会里仍然忘不了、用得上的学科品质。如果说数学的概念、公式、定律(知识性成分)等是数学素养的物质实体，那么数学思想、理性精神、信念品质、价值判断、审美追求、思维品质等深层次的因素，则是数学素养结构中的精神实体，这种蕴藏在知识性和能力性成分背后的观念性成分应是数学必备品格的应有之意。在这林林总总的品格要素中，数学意识、数学思想、数学情感与数学理性精神就是数学必备品格。关注必备品格的教学，并不是要另起炉灶，而是提倡：不仅仅让学生掌握相关的数学知识与技能，训练和提高学生的数学思维能力，开发学生的智力，还要引导学生在经历数学“再创造”的过程中，逐渐积累基本的数学活动经验，体悟基本的数学思想方法，受到数学理性精神的熏陶，逐步养成数学的意识与眼光，从而提高自身的数学学科核心素养。针对怎样培养数学必备品格，他带领团队总结出三种策略：（1）数学特质内化，赋予必备品格以“理性质感”，包括培养科学严谨的意识、培育勇于批判的意识两个维度；（2）学科意识涵化，赋予必备品格以“独特风骨”，包括鼓励探索发现、促进思想升华两个维度；（3）学科魅力催化，赋予必备品格以“情感基调”，包括感受数学的内在美（美妙）、感悟数学的核心美（美思）两个维度[6]。

三 数学关键能力的研究

我国数学教育特别重视使学生既长知识，又长智慧，在进行基础知识教学的同时，把发展智力和培养能力贯穿在各年级教学的始终。然而，数学能力究竟有哪些？哪些是数学学科核心素养视角下的关键能力？小学阶段需要重点培养哪几种关键能力？这些关键能力如何有效培养？对这些问题我们尚未达成显著的共识，这大大限制了数学教学实践深入推进的清晰度和完成度。

喻平教授指出，数学由于具有抽象性、严谨性特征，因此成为训练人们思维发展的最好学科。通过数学知识的学习，特别是由知识转化而来的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等关键能力的发展，可以使人的思维缜密、严谨、理性，会用数学的眼光看待事物，会用数学的思维分析事物，同时，数学关键能力的发展会迁移到其他学科的学习中，促进人的素养全面发展。针对如何在教学中发展学生的数学关键能力，喻教授提出了五种对策：（1）把握时机，适时培养关键能力；（2）启思明理，适度强化理解算理；（3）注重过程，适量体验过程方法；（4）领略思想，适当渗透数学文化；（5）疑问导向，适切营造问题空间[7]。

庄惠芬老师认为，数学学科关键能力是指在数学知识的积累、方法的掌握，以及运用和内化的过程中，学生从数学的视角发现问题、用数学的思维分析问题、用数学的方法解决问题的能力。小学数学学科关键能力包括数学理解与数学表征能力、数学建模能力、数学逻辑思维能力、数学问题解决能力、数学推理与论证能力、数学交流与表达能力这六种类型。在小学数学教学过程中，以学科核心知识为中介，以数学问题解决为线索，以儿童数学建模为路径，以思维与认知发展为旨归，可以有效提升学生的数学关键能力[8]。

四 结构化教学的新进展

毋庸讳言，我们的教育正面临着一个巨大的危险因素，那就是碎片化的教与学。大量事实表明，沉溺于碎片化的学习，将会一步步毁掉学生的深度思考能力。对数学教育而言，结构化教学正是我们急需的一种应对利器。

张曜光老师指出，教育要为学生谋取长期利益，数学教育应该以数学的认知理论为指导，建立整体的数学教育观，即在全面考量数学的认识论价值、应用价值、思维价值与育人价值的基础上，通过知识结构理解数学、通过认识结构理解学生、通过认知结构理解教学，从而把握数学学科核心素养[9]。

许卫兵老师及其团队认为，在数学学习过程中，充分依据结构、生成结构、拓展结构，发展结构思维，培育数学素养，应当成为一种自然样态。所谓结构化学习，是指建立在数学知识系统和学生已有认知基础之上的，以整体关联为抓手，以动态建构为核心，以发展思维为导向，以培育基础学力与数学素养为目标追求的学习过程、学习方式和方法。也就是说，结构化学习遵从了数学学科“整体性建构”的本质特征，顺应了数学学习“四两拨千斤”的内在需求，彰显了“素养为本”的教育教学价值。在结构化学习的组织和实施上，“要遵循数学知识内在的逻辑机理，通过结构化的长程设计、模块式的意义重构、递进式的教学推进，帮助学生建立清晰的知识结构，以及获得知识的方法结构，使原本镶嵌在教材丰富背景下的散点知识凸显出来，进而以结构关联的模型保存在学生的大脑皮层，以便在后续的学习中便捷、有效地提取与转化”。结合实践，他们提炼出了三种基本的组织实施策略：（1）着眼整体“布全局”；（2）着重联系“抓建构”；（3）着力反思“促自为”[10]。

颜春红、吴玉国老师认为，结构化教学致力于寻找知识之间的连接点，将碎片化的知识连成线、结成网、筑成块，让学生整体感悟学习内容、学习进程，帮助学生建立整体的结构思维，构建学生的思维体系与认知结构。在结构化学习的研究与实践中，他们逐渐探索出“连续”(起点连续、元素连续、目标连续)“关联”（内容关联、活动关联、方法关联）“循环”（练习循环、总结提升、问题延伸）三个关键词，以这三个关键词作为指导进行结构化学习的活动设计与组织，使学生在教师的组织下整体感悟学习内容，促进学生深度理解学习内容[11]。

席爱勇老师将“元素关联”视作小学数学结构化学习的核心，他倡导的基于结构化思维的备课轴模型极具实践指导意义：（1）教的设计以数学知识展开序列为依托，彰显数学知识结构的形成过程；（2）学的设计以学生思维推进序列为依据，彰显学生认知结构的形成过程；（3）教与学的设计有机统一在一条备课轴上，将数学知识结构与学生认知结构的形成过程有机统一起来，相互渗透，相互融合，最终形成学生的素养结构[12]。

五 儿童代数思维的培养

我们已经进入了“数字化”时代，代数的工具价值、思维价值和文化价值在其中发挥的影响力越来越显著。这促使我们更加热切也更加审慎地关注代数在小学阶段的教学现状、教学问题和解决对策。

曹一鸣教授等提出过一个代数思维框架[13]，把代数思想分为三个类别：代数作为抽象的算术，代数作为数学语言，代数作为学习方程和数学建模的工具。（如图2）这有助于数学教师从整体上把握代数教学的整体走向。需要注意的是，代数是在算术的基础上发展起来的，它们之间有联系，也有区别。当前，大多数教学实践往往只关注了代数思维和算术思维的区别，却忽视了两种思维方式之间的一致性和整体性，造成了算术和代数之间的割裂现象。比如，有些老师一直认为，代数思维的培养是学生进入“用字母表示数、认识方程”的学习时才开始的，此前进行的是算术思维的学习和训练。为化解这种割裂现象，徐文彬教授提出过算术中的“准变量表达式”这一强有力的概念，认为准变量表达式既动摇了人们对“算术与代数之间的传统割裂”的认识，又在算术思维与代数思维之间起到了桥梁作用[14]。

2018年，在解决此问题上一个较为明显的进展是对“儿童早期代数思维”的重视和探讨。特别是陈静老师对中美小学数学教学进行比较研究后提出：早期代数思维的渗透与培养，并不是要让学生提前学习代数符号或表达式，而是初步感受代数的核心思想，为以后转换到代数学习做好准备。在算术教学中渗透与培养代数思维，尚有较大作为空间。早期代数思维渗透与培养的教学策略主要有以下三种。（1）互逆运算——理解结构，把握关系。通过基本运算之间的关系比较，打通加、减、乘、除四类运算之间的内在联系，尽早让学生在数的运算中接触到关系性思维，为后续代数学习做好准备。（2）相等关系——数学表达，深化理解。有意识地引导学生感受“=”表示相等关系的内涵，感受“=”两边的量(式)之间平等、对称、平衡、等价的关系，并鼓励学生尝试用数学语言表达这样的关系。（3）多元表征——丰富形式，探索规律。教师要尽量鼓励、引导学生尝试用半抽象或抽象的符号语言描述数量关系，让学生充分感受符号表征的简洁与概括，这样才能尽早开启代数思维的大门[15]。

图2

六 数学文化课的探索

数学作为人类文化的一个坚实支点，其所展现的广泛、深厚而独特的文化价值，也必然具有意味深长、无可替代的教育学意蕴。在开展数学学习活动的过程中，潜移默化地对数学文化进行渗透，必然能使人具有追求真善美的自觉自主之情怀、诚实正直之品性、坚韧勇敢之精神，能使人理解和掌握科学发现与创造的基本原理、认识方法、实践路径和独立思考、严谨求实的科学态度，能使人具有强烈的好奇心、敏锐的问题意识、大胆的想象力和创造力等。可以说，数学能够更全面有力、切实有效地培养和提升人的人文底蕴和科学精神等关乎人的终身发展的必备品格和关键能力。数学文化课对深化课程改革具有特殊的现实意义：（1）是贯彻数学课程新理念的坚实支柱，（2）是落实立德树人根本任务的有力抓手，（3）是改善学生数学学习境遇的根本路径[16]。

优质数学文化课应具备课程内容充满文化意蕴、教师教学充满文化意趣、学生学习充满文化意境三大特征。要塑造一节优质数学文化课，应当秉持以下两大策略。（1）深挖课程价值，优化教学结构——为学生提供精良的数学学习资源。深化研究课程价值是对数学教学内容进行“问题化”的过程，优化教学结构是对问题化的数学教学内容进行“逻辑化”的过程。（2）活化教师主导，优化教学过程——让学生经历完整的数学学习过程。活化教师主导是精准而灵活把握好对教学内容、教学策略、教学节奏等的驾驭尺度，优化教学过程是精心而灵动处理好对学生学习方式、思维过程、情感体验等的调控艺术[17]。

当然，数学文化课的开展仍面临不少困难，如教师自身对数学文化缺乏系统的学习和深入的把握，相关的教研活动明显满足不了教学实践的需要，教师进行数学文化的内容开发、教学设计、教学实施的能力不足等，这些都是今后应继续加强研究和实践探索的地方。

最后需要说明的是，尽管当前数学学科核心素养的研究很热，但其理论研究的深度、广度和实践转化的力度、效度都还很不够，期待今后能在以下几方面取得更大的进展：数学学科核心素养的系统性与形成机制的研究；数学学科核心素养向实践转化的反思性研究；构建数学学科核心素养测评体系的研究；对数学学科核心素养与其他学科核心素养、学生发展核心素养互动发展关系的研究等。