重建模 助思维——以“重叠问题”为例的教学探索

石伟英

（浙江省桐乡市实验小学教育集团春晖小学）

小学数学教学的核心是培养学生解决问题的能力，提升学生思维能力。人教版数学三年级上册 “数学广角”的内容是“重叠问题”。这一问题在日常生活中的应用比较广泛，涉及一种最基本的数学思想方法：集合思想。集合思想是一种系统、抽象的数学知识，也是数学体系中最基本的思想。由于初次接触，学生所储备的这方面的知识比较少，对他们来说既是认知上的一次飞越，也是思维上的一次跨越。教师应把充足的时间和空间留给学生独立思考。学生经历发现、提出问题，分析问题，解决问题等一系列过程，从而建立数学模型，提升思维，培养能力。现根据三年级上册“重叠问题”的教学实践，谈谈体会和思考。

一、提供时间和空间，让学生在亲历问题的过程中创新数学思维

《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“提供足够的空间和时间给学生独立思考，发展学生的创新思维。”因此，应该给学生充分的时间和空间来思考问题、经历问题，使其在这一过程中培养数学思维。

（一）创设情境，在发现和提出问题中培养思维。

问题和情境是相辅相成、缺一不可的。三年级学生的思维需要靠已有的经验来唤醒和积累，因此，情境的创设非常重要。教师通过情境的创设，给予学生发现问题、提出问题的时间，才能积累数学表象，发展形象思维。

教学片段：创设情境，引发“认知冲突”

1.同学们，你们参加过运动会吗？你们都参加过哪些项目？

预设：我参加过跳绳比赛、我参加过跑步和踢毽子比赛……

小结：看来我们班的小朋友有些人参加过一项比赛，有些人还参加过两项比赛，其实在我们的运动会中还有很多数学问题。

出示：301班参加跳绳比赛4人，参加踢毽子比赛5人

2.你能根据上面的两个数学信息，提出什么数学问题？

预设：301班参加这两项比赛的一共有多少人？

请学生解决问题，并板书算式：4+5=9（人）

3.一定是9人吗？还有没有其他的可能？

预设：有可能有人同时参加两个项目

4.那会对参加这两项比赛的总人数有什么影响？

预设：总人数会减少

5.如果总人数减少，那么总人数有可能是几人？

预设：有可能是8人，7人……

通过运动会这一话题情境，成功吸引了学生的注意力和兴趣，而且从谈话中学生能感受到有人会同时参加两项比赛。这一话题也为接下来的学习埋下了伏笔，学生结合自己参加比赛的生活经验进行联想、思考，激活了学生的已有经验和认知，从而发现、提出问题，解决问题。这个问题的答案其实是不定的。三年级学生在回答时往往是没有经过深层次的思考的，没有全面、仔细地分析。这样的问题富有挑战又与生活相关，学生有了疑问，思维的发展也显得自然而然。学生发现问题，问题与生活也息息相关，既提高了学生的问题意识，又发展了学生的数学思维，一举多得。

（二）自主表达，在问题的发展变化中激发思维

“重叠问题”的教学主要是集合思想的体现，而集合思想中也体现了一一对应的思想。韦恩图中把相同属性的元素集中在一起，就是一个集合。两个集合合起来又能产生一个新的集合——交集。“重叠问题”教学中，一一对应的思想始终贯穿。从一一对应走向一多对应，产生交集，又从一多对应再回到一一对应，把多的“替身”去掉，这是问题产生、变化、发展到解决的全过程的体现。在这个过程中，学生的感悟和理解层层深入。教学不是简单的贴标签，而是要让学生理解并掌握本质的内涵。

教学片段：自主探究

有这么多的可能，那我们先慢慢来，参加两项比赛的总人数一共有8人，会是怎么样呢？你能不能把你的想法用一种既简单又让大家看得明白的方法表示在练习纸上？（请学生在练习本上画图表示自己的想法，教师巡视）

学生展示自己的作品，全班汇报交流：

一共有8人参加比赛

“有多少个学生就有多少个独特的世界。”教学并不是一味地说教、灌输，每一个学生都有自己独有的思想和不断创造的潜力。教师只要引领一下，就能激发出他们无限的潜力。学生动手画图表达想法，学生的作品呈现出来时也证明是很有价值的，其实这些作品就是“韦恩图”，而且它的价值也高于韦恩图。学生自己动手画图的意义远远高于教师直接出示韦恩图让学生填写。

（三）亲历过程，在质疑中提升思维能力

《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间，经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此，在教学中教师应多放手，以学生为主体，把课堂和时间还给学生。学生亲历数学活动的过程，通过实践、交流等活动，经历问题解决的过程，从而，理解韦恩图的本质内涵，建构集合思想的模型，突破教学重难点。如上一教学片段中，让学生通过画图的方法表示出8人是怎样的一种情况。通过让学生圏一圈跳绳的4个人和踢毽子的5个人，慢慢得到韦恩图的雏形。学生对自己的作品展示和交流，则是全班思维的碰撞。大家各抒己见，在学生与学生的辨析过程中，生生互动，自我提高认识，并接纳他人的意见，逐步加深对重叠问题的理解，学生在辨析中从未知到已知，从模糊到清晰，最后达成共识，真正提升思维能力。

二、探究数学本质，让学生在不断的建模中提升数学思维

数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题。数学建模的思想是相对比较新型的教学方式，也是比较重要的，培养了学生的实践能力和创新精神。

（一）积累表象经验，提升形象思维

创新的首项是问题，问题是激发思维的关键。本课中一共有多少人的问题，从小学生的生活场景出发，符合这个年龄段学生的认知水平。用旧知唤起新知，循序渐进积累新事物和新思维的问题经验，引起学生们对问题的探索欲望，将抽象的概念转化为具体的问题呈现出来。学生有了充分的认识和体验的过程，构建了重叠问题的模型。

（二）渗透建模思想，发展逻辑思维

小学生的逻辑思维能力还较为薄弱，考虑问题容易陷入肤浅的认知误区。而在有效的建模过程中，学生既需要对现实问题进行细致入微的观察和分析，又需要灵活巧妙地运用各种数学知识。这种运用相关知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程既锻炼了学生，又提升了思维能力。

教学片段：揭示韦恩图

1.英国数学家韦恩在解决像这样有人同时参加两项比赛的问题时，与我们的做法差不多。他是用这样两个圈圈来表示的。

2.你看得明白这两个圈圈表示什么吗？

请学生把刚刚展示的学生作品填到韦恩图中，教师随机提问韦恩图每一部分的含义。

一个圈表示参加跳绳的4个人，一个圈表示参加踢毽子的5个人，中间重叠部分表示同时参加两项比赛。

3.只参加跳绳的是哪一部分，只参加踢毽子的又是哪一部分？

4.根据韦恩图，列算式表示参加比赛的总人数。

5.每一个算式的不同含义。

学生亲历韦恩图产生的过程，充分体验、感知，最后获得韦恩图的作用和意义，化抽象为具体，从具体到抽象。在这交流的过程中，学生的思维不断地碰撞，生生互动，师生互动，教学也真正落到了实处，思维得到了发展。

教学中我发现学生对于韦恩图的体验和认识不深，为此，又设计了如下图这样的课件，引导学生质疑，小组讨论：各区域各代表什么？由此，学生能够清楚地理解各部分所表示的意思，学会用各种方法计算总人数。算式①：3+1+4=8人，算式②：4+5-1=8人，算式③：3+5=8人，算式④：4+4=8人，算式⑤……这里出现这么多的算式并非是要体现算法多样化，而是对集合思想的再次渗透建模过程。学生通过说一说，图上指一指，数形结合，理解每个算式中的每个数字所代表的是哪一部分，是谁和谁合起来的，甚至是“月牙形”+“椭圆形”这样的表述（如下图）。学生经历整个观察、比较、分析、推理的过程，并且结合模型抽象出算式。引导学生亲历了从图形到算式，从具体到抽象的建模过程，也有效提升了学生的逻辑思维。

（三）直观演示，创新抽象思维

学生在学习数学知识时,都会经历从具体到抽象,从简单到复杂的过程。在教学中，恰当地运用形象直观的模型,可以使抽象的知识具体化、形象化,有助于学生的理解和掌握。根据认识水平,把形象直观与发展学生思维能力结合起来,促使学生经历感性认识到理性认识的阶段。

教学片段：

1.请学生在练习本上用韦恩图表示总人数的其他几种可能。

教师展示学生作品，请学生观察多幅韦恩图，提问：你发现了什么？

2.中间重叠的人数越多，两边的人数会慢慢减少，总人数也在慢慢减少。

3.你觉得总人数最少是几人？最多又会是几人呢？请你画一画此时是怎样的一幅韦恩图。

三年级的学生，思维正从具体形象思维过渡到抽象思维，但仍以具体形象思维为主。所以，通过多幅韦恩图的直观展示，学生发现：中间重叠的部分越多，两边的人数则越少，总人数也跟着变少。通过这一生动形象的展示，学生直观认识到这一规律，从而大胆提出：当两个圈圈完全重叠在一起的时候，总人数最少这一结论。主要渗透有序的思想、分类的思想。同时，集合中的交集、子集、并集的思想虽然不需要学生掌握，但通过直观演示后，学生能有一个直观的认识。

总之，从学生的生活经验和知识基础出发,让学生经历建模的过程，在问题解决中初步体会数学方法的应用价值，选择最优方案，初步体会集合思想，培养学生良好的思维，提升能力。