牵牛要牵牛鼻子

常文武

大家平日里解函数方程的题，常感无从下手.要想拨开迷雾，必须认清关键条件！那就是如标题所言，“牵牛要牵牛鼻子”.

来看一道题目：

定义在全体实数上的函数f（x）满足：f（-1）=1/4，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x，y），求f=（-2019）的值.

顯然第二个条件内涵更丰富，它虽然只是一个等式，但是可以一当十，甚至当百当千当万.因为只要取一些特殊的x，y代人它，就能得到函数在一些点上的特殊值.

可是取什么值呢？

一定要取到与第一个条件有关的值，让我们试试x=一1，y=0吧？效果不错啊，我们得到了f（0）=1/2！

你会问，这一对特殊值怎么想到的啊？

无非是联系到第一个已知条件以及在第二个条件中，等式右边取y=0时会归于统一.

当然也可由其它途径.比如你也可能这么算：令x=y=0，得到4f（0）²=2f（0）.约去一个f（0）就得到同一个答案、f（o）=1/2.不过可得当心，万一约去的是个O呢？所以稳妥起见还是采用前一个方法.

现在让我们来扩大战果吧.

如果只令x=0，会怎样呢？这次我们得到f（y）=f（-y）.哈哈，原来这是个偶函数啊！f（1）=f（-l）=1/4

仍然会有人问，为何想到令x=0呢？

其实这个想法也是很白然的，因为f（O）经过探索已知其值了嘛！

有了以上的摸索成果，我们可以向目标发起猛攻了！

如何能找到f（-2019）的值呢？

首先利用奇偶性，f（-2 019）=f（2019）.接下来大概递推可以奏效吧？取y=一1，得到f（x）=f（x+1）+f（x- 1）.这可以转化为一个递推式：f（ x） -f（x-1）=f（x+1）.也就是说，前两项的差等于第三项.这样的话，我们总算看到了希望.满足以上递推式的f在整格点上是个周期的数列：a，b， b-a， -a， - b， a-b，a，b，b-a，-a，-b，a-b，a，…，它的周期为6.所求的（2019）（3） =f（3） =一f（0）=-1/2.

好问的你义会问，怎么想到用递推来解题呢？

其实第二个条件中x+y和x-y都是在x的基础上平移了y.提示我们将y取为-1来得出一个递推式.

问题解完了，可是我们仍然不知道函数f的真面目.好奇的你也许还会问，这个f可有解析式？

我们想到了数值模拟.请看下图，把一系列的f（n）在Excel中画出直方图，发现很像是余弦函数的图象.于是令f（x）=Acos（ωx）.将f（0）=1/2，周期T=6代人得：f（x） =0.5cos（πx/5）. 验证一下题设的两个条件，第一个显然对了.第二个条件：左边一右边.哈哈哈！我们完全猜出来了这个函数的庐山真面目！不过是否还有其他表现形式呢？我们还是不敢打包票！留给读者继续探索吧！

总结以上，我们发现尝试对问题进行求解的过程充满了艰辛.运气好的时候，我们可以势如破竹地前进.运气不好的时候，也就只能屡败屡试下去了.只有当你顺利牵到了题目的牛鼻子，题目才能迎刃而解。