三维攻击角度约束部分制导控制一体化设计

赖 超，王卫红，周本春，周星合，林大鹏

(1. 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191；2. 中国舰船研究院，北京 100101)

0 引 言

基于频谱分离的假设，传统的导弹制导与控制系统分开独立设计以其优良性能已经成为一种广泛使用的重要方法。然而，在末制导阶段，当目标速度较大并有较强的机动时，随着弹目距离减少，制导回路的时间常数变小，带宽随之变大，频谱分离假设不再成立，导致脱靶量增大甚至拦截器失稳等问题。为了解决这个问题，文献[1]将制导系统与控制系统进行整体设计，首先提出了制导控制一体化(Integrated guidance and control, IGC)的设计方法。IGC设计将制导系统与控制系统合并到一个统一的架构中，进而利用弹目相对运动动态与导弹自身运动动态直接产生舵偏控制量。通过充分利用两个系统间的协同关系，IGC已经成为提高拦截性能的潜在解决方案[2]。近年来，许多不同的控制方法应用于IGC设计，取得了更高的制导性能，例如自抗扰控制[3]，反步法[4]，动态面控制[5]与滑模控制[6]等。然而，已有学者指出：不能充分利用导弹转动动态与平移动态之间的固有时间尺度分离特性是IGC设计的重要局限性[7]。导弹转动动态通常快于平移动态，IGC通过平移运动误差直接产生舵偏，倾向于导致转动动态的不稳定。尤其当目标进行快速大机动时，系统转动动态更容易不稳定，从而导致拦截精度下降，也增加了一体化调参的难度。

为了改进IGC设计的不足，部分制导控制一体化(Partial integrated guidance and control, PIGC)方法被提出来[7]。PIGC设计结合传统独立设计与IGC设计的优势，采用双回路控制器结构：外回路通过利用制导系统与控制系统的耦合信息，产生期望的角速度指令以保证拦截；内回路跟踪角速度指令，并生成控制舵偏。PIGC不仅拥有提高制导性能的潜力，而且使转动运动更加稳定，因而得到了学者们的广泛关注。文献[8]提出了一种自适应非奇异终端滑模控制方法并将其用于俯仰通道的PIGC设计。同样在俯仰通道，针对迎向机动目标的拦截问题，文献[9]引入扩张状态观测器来估计目标未知加速度信息，并基于此进行了PIGC设计。进而，考虑更多的实际约束的俯仰通道PIGC方法被提出来。文献[10]运用终端滑模控制方法进行PIGC设计，达到了攻击角度约束下的直接碰撞杀伤拦截。考虑到执行机构故障与饱和问题，文献[11]引入辅助动态，进行了PIGC设计。在以上文献中，PIGC设计取得了优良的制导性能。然而，以上文献均集中在二维PIGC设计，尤其是俯仰通道的PIGC设计上，对三维PIGC设计的研究不多。

为了最大限度地利用导弹三通道间耦合关系，研究三维PIGC设计尤为重要。考虑三维拦截几何动态，文献[12]使用模型预测控制与动态逆控制方法提出了三维PIGC设计方法。同样采用模型预测控制，文献[13]针对高速弹道导弹目标的拦截问题，设计了三维PIGC方法。然而，文献[12-13]针对的都是没有机动的目标，因此算法设计中无需考虑目标位置加速度信息造成的不确定性。同样地，考虑三维拦截几何动态，文献[14]提出了自适应多输入多输出(MIMO)滑模控制，并进行了带攻击角度约束的PIGC设计，完成了三维空间中的两个攻击角度约束下的精确拦截。在模型推导中，体轴角速度应该合并为一项并作为外回路控制量。然而，文献[14]没有考虑控制律中直接使用的导弹速度微分体轴系分量中含有外环控制量体轴角速度，没有将其合并入控制项中。因此，速度微分体轴系分量会在一定程度上影响控制性能，尽管已经假设其可得。本文充分利用攻角、侧滑角、体轴角速度与导弹速度微分体轴系分量的关系，建立了STT导弹严格反馈形式的PIGC设计模型，且不需要导弹速度微分体轴系分量。另外，带有攻击角度约束的制导律能有效增加弹头杀伤力。因此，研究带有角度约束的三维PIGC设计有重要意义。

本文针对“地对空”STT导弹迎面拦截机动目标的场景，提出了带有攻击角度约束的三维部分制导控制一体化设计方法。首先，通过充分利用制导系统与控制系统之间的协同关系，建立了针对机动目标拦截的STT导弹的三维PIGC设计模型，且不需要导弹速度微分体轴系分量信息。然后，通过使用终端滑模思想构建动态面方法的误差向量与虚拟控制量，实现攻击角度约束下的精确拦截。同时，引入有限时间收敛扩张状态观测器(Extended state observer,ESO)估计系统不确定性，并设计自适应算子与自适应律对观测器的估计误差进行补偿，提高算法的鲁棒性。综合以上，提出了一种基于自适应终端滑模动态面控制方法(ATDSC)的三维PIGC设计。最后，数字仿真结果校验了方法的有效性。

1 模型阐述

1.1 三维部分制导控制一体化设计模型

PIGC采用双回路设计结构：外回路利用制导与控制系统之间的耦合关系，以弹体系角速度作为控制量以保证拦截；内回路以舵偏作为控制量，跟踪外回路产生的期望角速度。建立PIGC外回路与内回路设计模型如下所述。

1)外回路设计模型

图1 三维拦截几何关系图Fig.1 Interception geometry in three-dimensional space

首先，三维拦截几何关系如图1所示，其中，Ogxgygzg表示惯性系，Obxbybzb表示体轴系，M(xm,ym,zm)与T(xt,yt,zt)是导弹与目标的位置坐标，λE与λA表示弹目视线倾角与偏角，R表示弹目相对距离。

依据文献[14]建模的方法，通过对图1建立的坐标系对应的拦截动态方程求导，得到视线角的二阶微分方程，如下所示：

(1)

通过坐标系转换关系，可以得到：

(2)

式中：S11=cosθcosψ,S12=sinθcosψsinφ-sinψcosφ,S13=sinθcosψcosφ+sinψsinφ,S21=cosθ·sinψ,S22=sinθsinψsinφ+cosψcosφ,S23=sinθ·sinψcosφ-cosψsinφ,S31=-sinθ,S32=cosθ·

sinφ,S33=cosθcosφ,u，v，w表示弹体系速度分量，θ，ψ，φ表示俯仰角、偏航角与滚转角，Sθφφ为弹体系和惯性系之间的转换矩阵。对式(2)求导并进行化简，可得：

(3)

式中：

L11=-usinθcosψ+vcosθcosψsinφ+wcosθcosψ·cosφ,L12=-ucosθsinψ-v(sinθsinψsinφ+

cosψcosφ)-w(sinθsinψcosφ-cosψsinφ),

L13=v(sinθcosψcosφ+sinψsinφ)-w(sinθ·

cosψsinφ-sinψcosφ),L21=-usinθsinψ+

vcosθsinψsinφ+wcosθsinψcosφ,L22=ucosθ·

cosψ+v(sinθcosψsinφ-sinψcosφ)+w(sinθ·

cosψcosφ+sinψsinφ),L23=v(sinθsinψcosφ-cosψsinφ)-w(sinθsinψsinφ+cosψcosφ),

L31=-ucosθ-vsinθsinφ-wsinθcosφ,L32=0,L33=vcosθcosφ-wcosθsinφ。

导弹的运动方程组如下：

(4)

式中：p，q，r为滚转、俯仰与偏航角速度。

导弹的力方程组如下所示：

(5)

式中：m为导弹质量，g为重力加速度，Fx,Fy,Fz为气动力，并且可以表示为[14]：

(6)

式中：dx,dy,dz为不确定性，cx,cy,cz,cx0,cyβ,czα为空气动力系数，α与β为攻角与侧滑角，ρ为空气密度，Vm为导弹速度，kF为取决于导弹外形的常量。

将式(3)～(6)代入式(1)，并进行计算与化简：

(7)

式中：dE与dA为包含目标加速度信息以及dx,dy,dz的系统不确定性。本文研究STT导弹拦截迎向机动目标，有如下假设：

假设1. STT导弹关于y轴与z轴对称，即Iyy=Izz,Ixy=Iyz=Izx=0，其中Iyy与Izz为导弹绕y轴与z轴的主惯量，Ixy,Iyz,Izx表示导弹的惯量积。

根据假设1,力矩方程组如下：

(8)

其中，L,M,N为滚转、俯仰与偏航力矩，可以表示为：

(9)

通常情况下，STT导弹在整个飞行过程中，滚转角保持在一个固定值。依据文献[14]，滚转通道控制设计为：

(10)

式中：δa为滚转舵偏，Ixx,Iyy,Izz为相应转动惯量，cla与clβ为气动系数，φref为期望滚转角，kr1与kr2为控制参数。选择合适的kr1与kr2，滚转角将保持在期望滚转角，即p=0,φ=φref，证明见文献[14]。因此，有以下假设：

假设2[14]. STT导弹滚转通道稳定(p=0)，并且滚转角保持在期望滚转角(φ=φref)。

考虑假设2，取φref=0，考虑式(7)，并结合攻角与侧滑角微分方程[14]，得到具有严格反馈形式的PIGC外回路设计模型如下所示：

(11)

cosλEsinθ],

(cosαcosθcosφ+sinαsinθ),

cosθsinφ-sinαsinβcosθcosφ),

注1. 充分考虑攻角与侧滑角，体轴角速度与导弹速度微分体轴系分量关系，建立了具有严格反馈形式的PIGC外回路设计模型。与文献[14]相比，不再需要导弹速度微分体轴系分量信息。

假设3. 模型不确定性D1与D2可微且有界，参数矩阵G1(x1)可逆且范数有界，并且，系统状态均可获得。

2)内回路设计模型

考虑假设2，结合式(8)～(9)，内回路模型为：

(12)

1.2 目标模型

采用的机动目标模型如下所示：

(13)

式中：xt,yt,zt为目标位置坐标，θt,ψct为目标航向倾角与偏角，gp,gy表示目标俯仰与偏航方向加速度，Dt为阻力，g为重力加速度，Vt表示目标速度。其中，gp,gy,Dt,θt,ψct不可知，Vt,xt,yt,zt可知。

2 带有攻击角度约束的部分制导控制一体化设计

本节进行带有攻击角度约束的三维PIGC设计。PIGC双回路设计结构如图2所示：外回路使用体轴系角速度作为控制输入以保证拦截，使用高阶滑模(High-order sliding mode, HOSM)微分器来估计角速度指令的导数，内回路跟踪外回路产生的角速度指令，并保证导弹转动运动的稳定。

图2 PIGC双回路设计框图Fig.2 Two-loop design sketch of PIGC

2.1 外回路设计

(14)

(15)

自适应终端滑模动态面控制(ATDSC)分为两步进行设计，第一步得到虚拟控制量x2c，第二步得到真正的控制量uw。设计过程如下所示：

(16)

根据文献[16]，构建二阶非线性扩张状态观测器(Nonlinear extended state observer, NESO)来估计不确定性D1，如下所示：

(17)

(18)

其中，ζ>0,τ>0

虚拟控制律设计为：

(19)

(20)

(21)

第二步：构建第二个误差向量如下：

s2=x2-x2c

(22)

构建二阶NESO来估计不确定性D2，如下所示：

(23)

式中：参数满足ρ21>1,ρ22>1。

设计控制律如下所示：

ka2S(s2)η2-z22]

(24)

式中：ka2=diag(ka21,ka22),ka2i>0,i=1,2,k3=diag(k31,k32),k3i>0,i=1,2，s2=[s21s22]T,S(s2)=diag(sgn(s21),sgn(s22)),η2∈R2为自适应算子。设计自适应律，如下所示：

(25)

注2. 考虑到假设3，可以使用NESO来估计系统不确定性并且估计误差可以实现有限时间收敛。文献[17]指出，如果ESO的估计误差可以有限时间收敛，则观测器设计满足分离定律。因此，通过选择合适的参数，式(17)与式(23)的NESO相对于控制器可以进行独立设计，并且，在稳定性分析中，将NESO的估计误差当作有界误差处理。

定理1. 满足假设1～3，考虑非线性严格反馈系统式(11)，如果采用如式(16)～(25)的控制律，并且控制器参数满足

(26)

式中:μ>0,μ∈R且I为单位阵，则系统误差变量Si,p=x2c-x2d与ξi-ηi(i=1,2)一致最终有界。

证. 误差向量p=x2c-x2d，结合式(15)～(16)与式(19)，得到s1的导数如下：

F1(x1)+G1(x1)(s2+p+x2d)+D1=

D1-z12+G1(x1)(s2+p)

(27)

结合式(15)、式(22)与式(24)，得到s2的导数如下：

(28)

根据式(21)，得到p的导数如下：

(29)

令D1-z12=[dz11dz12]T与D2-z22=[dz21dz22]T表示NESO估计误差，则根据注2，满足：

(30)

定义如下李雅普诺夫候选函数：

(31)

对式(31)求导得：

(32)

将式(20)、式(25)与式(27)～(29)代入式(32)，进行化简，可得：

(33)

令ηi=[ηi1ηi2]T,i=1,2，得到以下不等式：

(34)

根据Young不等式，可得不等式如下所示：

(35)

将不等式(34)～(35)代入式(33)，可得：

(36)

(37)

式中：H为常量，如下所示：

(38)

选取控制参数满足条件

(39)

式中：μ>0,μ∈R，则式(37)可以推导为：

(40)

求解式(40)，可得：

V(t)≤V(0)e-μt+H/μ(1-e-μt)

(41)

注3. 如果视线角速度收敛到0，则导弹与目标相对速度向量在垂直于弹目视线方向上的分量为0，即弹目相对速度完全落在弹目视线上，因此可以保证弹目距离一直减小，从而完成对目标的拦截。

注4. 针对STT导弹迎面拦截机动目标的场景，根据文献[14]将视线倾角与视线偏角定义为攻击角度，通过选择合适的期望角度，保证拦截弹从目标的某一特定方向进行拦截，一定程度上避免尾追式拦截，增大拦截概率，同时，也便于导引头截获和稳定跟踪目标。

注5. 自适应终端滑模动态面算法中，使用终端滑模思想构建第一个误差向量并设计第一步的虚拟控制律，以达到精确拦截与攻击角度约束的控制目的。

注6. 提出的自适应算子与自适应律用于补偿NESO的估计误差以增加算法的鲁棒性。已有文献指出[18]，自适应更新律中的绝对值项会使自适应算子随着控制时间不断变大，容易导致自适应算子过大影响稳定性。本文通过在自适应更新律中引入比例收敛项，避免了自适应算子的无限度增大，一定程度上，增强了系统的稳定性，并且，基于李雅普诺夫理论，证明了系统的稳定性。

2.2 内回路设计

采用超曲滑模控制方法用来进行内回路设计以达到有限时间收敛[19]。定义误差向量：

(42)

对式(42)求导，得到：

(43)

控制律如下所示：

(44)

(45)

3 仿真校验

本节进行了STT导弹拦截迎向机动目标的仿真，以校验所提出方法的有效性。气动系数的名义值如表1所示。

仿真中，空气密度按照公式ρ=1.225(1-|zm|/44300)4.2533进行变化，其中|zm|表示飞行高度。导弹的参数为：1) 转动惯量：Ixx=1.6151 kg·m2,Iyy=136.2648 kg·m2，Izz=136.2648 kg·m2；2) 质量：m=500 kg；3) 速度向量体轴分量：u(0)=400 m/s,v(0)=500 m/s，w(0)=-600 m/s；4) 几何常数：kF=0.0143 m2,kM=0.0027 m3；5) 重力加速度：g=9.81 m/s2；6) 导弹初始位置：xm(0)=0,ym(0)=0,zm(0)=-3000 m；7) 舵偏量饱和值设置为35°。仿真中，拦截目标的参数为：1) 速度：Vt=600 m/s；2) 目标位置初始值：xt(0)=8000 m,ym(0)=8000 m,zm(0)=-11000 m；3) 初始航向倾角与偏角：θt=135°,ψct=-45°。

设计参数为：1) 控制参数：c1=1,c2=3,ks1=diag(1.5,1.5),ks2=diag(0.001,0.001),ka1=diag(0.05,0.10),k1=diag(2.0,2.0),k2=diag(0.02,0.03),σ=diag(0.01,0.005),τ1=0.2,k3=diag(2.0,2.0),ka2=diag(0.15,0.10),τ2=0.3；2) NESO参数：α1=0.7,ρ11=1.1,ρ12=1.1,ρ22=1.5,ρ22=2,kz1=1.5,kz2=1.2；3) HOSM参数：kd1=diag(10,10),kd2=diag(0.1,0.1)。

表2的仿真结果表明，在系统存在不确定性情况下，CDSC与ATDSC均能完成对迎向机动目标的拦截，一定程度上体现了扩张状态观测器对系统不确定性的补偿作用。其中，相比于CDSC，ATDSC方法的脱靶量与拦截时间更小，取得了更好的拦截精度；ATDSC终端视线角的收敛误差更小，取得了更好的角度收敛效果。

表1 气动系数名义值Table 1 Nominal values of aerodynamic derivatives

表2 仿真结果Table 2 Simulation results

图3 拦截轨迹Fig.3 Interception trajectories

图4 弹目相对距离Fig.4 Relative distance

图5 视线倾角与偏角曲线Fig.5 Curves of LOS elevation and azimuth angle

图6 攻角与侧滑角曲线Fig.6 Curves of attack angle and side slip angle

图7 角速度曲线Fig.7 Curves of body rates

图8 舵偏角曲线Fig.8 Curves of fin deflections

选择表2第四行数据，仿真结果曲线如图3～8所示。如图3所示，ATDSC方法的弹道比CDSC更光滑、平直，因此拦截时间更短。如图4所示，相比于CDSC的脱靶量(2.1932 m)与拦截时间(8.944 s)，ATDSC的脱靶量(0.0622 m)更小，拦截精度更高，并且拦截时间(8.553 s)更短。如图5所示，CDSC和ATDSC的终端视线角分别为λEt=30.89°，λAt=39.84°与λEt=30.01°，λAt=39.99°。ATDSC能使视线角更快收敛到期望值，并且收敛精度更高。在ATDSC设计中，将第一个误差向量设计为终端滑模形式，并据此设计第一步的虚拟控制量，因此在制导精度与攻击角度约束收敛上达到更好的控制效果。如图6～7所示，在整个拦截过程中，飞行状态稳定并且有界，与定理相符。在图8中，舵偏量没有达到其舵偏饱和值35°。综上所述，仿真结果说明，相比于CDSC，ATDSC取得了更高的制导精度与更好的攻击角度收敛效果。

4 结 论

本文针对机动目标的带有三维攻击角度约束的拦截问题，建立了适用范围更广的STT导弹三维PIGC设计模型，并提出了一种基于自适应终端滑模动态面控制方法的三维攻击角度约束PIGC设计方案。在未知目标机动加速度以及其他参数不确定性影响下，有效地实现了三维攻击角度约束下的迎向机动目标精确拦截。使用李雅普诺夫理论证明了系统的稳定性，并且仿真结果校验了方法的有效性。