两个旁切圆与半外切圆半径的平方型双边不等式

福建省闽侯县上街实验学校 (350100)

黄银珠

最近，笔者重新翻阅了《中国初等数学研究》，受益匪浅.其中杨志明老师于2016年发表的一文[1]引起笔者关注，经过探究，在文[1]的基础上，本文建立了两个涉及旁切圆与半外切圆半径的平方型双边不等式.

约定ΔABC三边长为a,b,c，其对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc，R、r与s分别为ΔABC的外接圆半径、内切圆半径及半周长.Σ表示轮换对称求和.

定义[2]与三角形两边延长线及其外接圆相切的圆，叫做三角形的半外切圆(即“远切圆”).ΔABC三边a,b,c对应的半外切圆半径分别记为Ra、Rb、Rc.其中Ra表示与AB,AC延长线及外接圆相切的圆半径；Rb表示与BC,BA延长线及外接圆相切的圆半径；Rc表示与CA,CB延长线及外接圆相切的圆半径.

引理在ΔABC中有如下结论成立：

(1)R≥2r(欧拉不等式)；

定理1证明：由文[1]可得恒等式

定理2证明：由文[1]得恒等式