真值为格值的二型模糊集及其运算
2019-08-31严卫平王学平
严卫平， 王学平
（四川师范大学 数学与软件科学学院，四川 成都610066）
二型模糊集的概念是由Zadeh［1］在1975年首次提出，他扩展了一般模糊集和区间值模糊集的概念．文献［2－4］给出了二型模糊集的性质与运算．2001年，Karnik等［5］讨论了二型模糊集的集合运算（包括取小与乘积t－模的并交运算）、代数运算、二型模糊集隶属度的性质、二型模糊关系及其合成．2002年，Mendel等［6］介绍了二型模糊集的表示定理，他们不使用扩展原理而用表示定理证明了并、交、补运算．2005年，Walker等［7］等讨论了二型模糊集的真值运算与真值代数，并对二型模糊集真值代数的结构进行了研究．2007年，Hading等［8－9］研究了二型模糊集真值代数的子代数，证明了它的一些子代数是格，且讨论了格的完备性．2010年，Harding等［10］还讨论了二型模糊集真值代数的生成问题．2014年，Walker等［11］给出了有限链上二型模糊集的运算性质．2014年，Hu等［12－13］在文献［7］的基础上讨论了线性序集上二型模糊集真值的二元运算的扩展t－模运算，随后又讨论了二型模糊集的t－模运算、二型模糊数的性质、二型模糊关系以及区间值二型模糊集．2014年，Wang等［14］在文献［12－13］的基础上讨论了蕴含运算．2016年，Gonzalo等［15］给出了次隶属函数的广义二型模糊集的交与并运算等．
以上讨论都是在［0，1］上．本文是在文献［7，12］的基础上，将［0，1］拓展到完备分配格上，讨论真值为格值的二型模糊集的运算及其性质．
1 完备分配格L上的二型模糊集的模糊真值运算
设L是完备分配格（有关格知识参见文献［16］），X 上的模糊集是映射A：X→L，称A（x）为模糊集A在x处的隶属度，称X为模糊集A的定义域，称L为模糊集A的值域．所有X到L的映射构成的集合记为Map（X，L）．对任意A，B∈Map（X，L），定义A≤B当且仅当对任意x∈X，A（x）≤B（x）．对任意Ai∈Map（X，L），x∈X，定义（∪Ai）（x）＝∨Ai（x）， （∩Ai）（x）＝∧Ai（x），i∈Ii∈Ii∈Ii∈I其中I为指标集．易见，模糊集的序≤，运算∪及∩均以点式定义方式来源于格（L，≤，∨，∧）．设J为完备分配格L的完备子格．拓展二型模糊集的定义如下．
定义1．1 设X为非空集合，称映射A：X→Map（J，L）为X上二型模糊集．
记X上所有二型模糊子集构成的集合为Map（X，Map（J，L））．Map（J，L）的元素是L 的一般模糊集．与Map（X，L）一样，Map（X，Map（J，L））中二型模糊集的运算可从Map（J，L）的运算以点式定义方式得到．与文献［7］中Map（X，Map（J，［0，1］）的二型模糊集的运算一样，可以使用卷积构造Map（J，L）上的运算．设U、V 是2个集合，ο是U 上的二元运算，▲是V上的二元运算，▼是V上另一二元运算，则可用如下方式定义集合Map（U，V）上的二元运算·：对任意f，g∈Map（U，V），定义称f·g为f与g的卷积．
以下利用卷积运算，可以定义Map（J，L）上的运算．
定义1．2 如果映射N：L→L满足：
1）对任意x，y∈L，如果x≤y，则N（y）≤N（x）；
2）对任意x∈L，N（N（x））＝x，则称N为L上的强否定．
定义1．3 设f，g∈Map（J，L），N 为L 上强否定运算，定义fg和fg如下：
定义1．4 设f∈M，定义M中的fL和fR如下：对任意x∈J，
易见，函数fL是单调递增的，而fR是单调递减的．
定理1．1 设f，g∈M，则：
1）f≤fL，f≤fR；
2）（fL）L＝fL，（fR）R＝fR；
3）（fL）R＝（fR）L，因此（fL）R可以写成fRL或者fLR；
证明 由定义1．4知1）、2）与8）显然成立．
3）对任意x∈J，
因此，任意x∈L，
4）对任意x∈J，
又
5）对任意x∈J，
即（f∪g）L＝fL∪gL．类似可证（f∪g）R＝fR∪gR．
6）对任意x∈J，所以（f∩g）L≤fL∩gL．类似可证
7）对任意x∈J，
定理1．2 设f，g∈M，则：
证明 对任意x∈J，f，g∈M，
又由（L，∨，∧，0，1）是完备分配格知（Map（J，L），∩，∪，0－，1－）是完备分配格，因此
（由定理 的结论 ））1．11
所以
类似有
所以
注1．1易见，如果定理1．2中函数f与g均是单调递增的，则等号成立 因为此时．
但等号一般不成立．
例1．1 设L＝｛0，a，b，1｝满足a与b不可比，且a∨b＝1，a∧b＝0，则易见（L，∧，∨，0，1）是完备分配格．
1）设f（0）＝1，f（a）＝a，f（b）＝b，f（1）＝0；g（0）＝1，g（a）＝b，g（b）＝a，g（1）＝0，则
而
所以
而
所以
命题1．1 设f，g∈M，则：
2）fLgL≥fL∩gL，fL∩gL≤fLg；
3）fRgR≥fR∩gR，fR∩gR≤fRg；
证明 1）对任意x∈J，
2）由定理1．2及定理1．1的结论2）知
3）由定理1．2及定理1．1的结论2）知
4）对任意x∈J，
5）由定理1．2直接可证．
命题1．2 设f，g∈M，则：
证明 1）对任意x∈J，
因此，若y∧z≤x，则存在y1，z1∈J使得y1≥y，z1≥z，y1∧z1＝x．故
又对任意x∈J，因为
因此，若y∨z≥x，则存在y1，z1∈J使得y1≤y，z1≤z，x＝y1∨z1．故
又对任意x∈J，因为
注1．2 命题1．2中等号一般不成立．
例1．2 设格L是平面的所有闭子集构成的完备分配格，且f，g∈Map（L，L）．
由命题1．1的结论2）知fLgL≥fL∩gL，所以（fg）L（x）＜（fLgL）（x），即（fg）L＜fLgL．同理可证其余等式也不成立．
注1．3 定理1．3中等号一般不成立．
例1．3 设L＝｛0，a，b，1｝满足a与b不可比，且a∨b＝1，a∧b＝0，则易见（L，∧，∨，0，1）是完备分配格．
1）设f（0）＝a，f（a）＝b，f（b）＝1，f（1）＝0，
则
所以
2）设f（0）＝0，f（a）＝a，f（b）＝1，f（1）＝b，则：
定理1．4 设f，g，h∈M，则：
证明 1）对任意x∈J，
2）对任意x∈J，因此，
定理1．5 设f，g，h∈M．若格L是无限分配的，则：
证明 对任意 ， x∈J
（由L的无限分配性）
（由L的无限分配性）
定理1．6 设f，g，h∈M，则：
证明 对任意x∈J，
定理1．7 设f，g，h∈M．若格L是无限分配的，则：
证明 对任意x∈J，（由L的无限分配性）
注1．5 定理1．7中等号一般不成立．
例 设 （ （）， ）， ｛，，｝，1．4 L＝PowA∈A＝012设f，g，h∈Map（L，L），
设x＝1L，则
