圆柱壳结构受迫振动特性分析

2019-08-31庞福振彭德炜李海超田宏业单衍贺

振动与冲击 2019年16期

庞福振, 彭德炜, 李海超, 田宏业, 单衍贺

(哈尔滨工程大学船舶工程学院，哈尔滨 150001)

柱壳结构广泛应用于航空航天、船舶、土建、机械等工程领域，在其实际工程应用中将不可避免受外界激扰力作用，因此开展柱壳结构强迫振动特性研究具有重要意义。在此方面，Rayleigh[1]对光圆柱壳的拉伸振动和弯曲振动进行了研究，给出了无限长假设圆柱壳在真空环境中的自由振动固有频率计算公式。Christoforou等[2]利用解析法分析了两端简支圆柱壳在径向冲击载荷的振动响应问题。Huang等[3]给出了基于Kirchhoff-Love 假设的有限长两端简支圆柱壳体受横向冲击瞬态响应的一个封闭解析解。Leissa[4]采用壳体理论对圆柱壳进行了系统深入分析，为解析法求解圆柱壳振动问题奠定了基础。Qu等[5]提出一种新的方法，即基于区域分解的方法，研究了力激励下变截面圆柱壳自由振动及力激励下响应特性。Pang等[6-7]依据Flügge薄壳理论建立振动分析模型，采用Jacobi-Ritz法分析了均厚度以及变厚度圆柱壳、球壳等组合壳体结构的自由及受迫振动特性。

在现有柱壳结构振动分析中，大多是在经典边界条件下开展的。Yu[8]讨论了简支和固支边界条件下有限长圆柱壳的振动特性。骆东平[9]采用迭代法求解Flügge方程，以两端固定、两端简支、一端固定另一端自由和两端自由四种常见的边界条件为基础，考察了边界条件变化对振动频率的影响，并通过放松或增加某一方向上的约束，讨论了不同方向约束的单独影响。Caresta等[10]研究了低频下两端简支圆柱壳的自由振动并重点讨论了呼吸模态即n=0的特性，文中列出了固有频率下圆柱壳的振型，并讨论了三个级别波不同特性及其截止频率。王宇等[11]基于Love壳体理论对固支-自由约束条件下受径向载荷的薄壁圆柱壳构件开展受迫振动响应特征分析。汪志强等[12]采用Flügge经典薄壳理论和波传播方法讨论了正交各向异性圆柱壳的自由振动问题，且所提出方法可考虑正交各向异性圆柱壳在复杂和受外力的情况。郭文杰等[13]采用镜像原理和Graf加法定理得到流体速度势解析表达式，结合能量泛函变分方法推导出计及自由液面影响的壳-液耦合振动方程，求得圆柱壳固有频率，为圆柱壳结构流固耦合振动分析提供了新思路。庞福振等[14]基于Flügge壳体振动理论，将改进精细传递矩阵法应用于水下加筋柱壳声辐射问题，分析了经典边界条件、结构损耗因子、流体介质以及壳体厚度对结构声辐射的影响。然而，在实际工程应用中，柱壳结构的边界条件往往存在弹性边界支撑等复杂边界条件。因此，本文基于区域能量分解法，开展圆柱壳结构受迫振动特性分析，旨在提出统一的求解公式，为复杂边界条件下圆柱壳结构受迫振动特性分析提供数据积累和方法依据。

1 柱壳结构区域能量分析模型

圆柱壳结构如图1所示，结构长为L，半径为R，厚度为h，结构的坐标系统如图1所示。

图1 柱壳结构理论模型Fig.1 Theoretical model of cylindrical shell structure

1.1 柱壳结构的能量泛函建立

将圆柱壳体沿轴线方向均匀地截断成NL段，即每一段的长度Li=L/NL。根据修正的Hamilton原理，考虑到每一段的能量和相邻两段之间的影响，圆柱壳体的总势能为

(1)

式中：Tl,i，Ul,i,Wl,i分别为圆柱壳体的第i段的动能、应变能、外力功和附加能量泛函。相邻分段i～i+1的附加界面势能表示为K,L。

当忽略圆柱壳体旋转惯性的条件下，圆柱壳体第i段的动能可以表示为

(2)

式中：ui,vi，wi分别为不同方向位移矢量；ρ为结构质量密度；hi为第i段结构厚度；Si为结构中面面积。

根据Reissner-Naghdi’s线性薄壳理论，i分段的最大结构应变能可以表示为

(3)

考虑到z的奇数次幂和其他相乘在对称区间的积分为0，可以得到

(4)

假设外部载荷全部作用在中面位置处，圆柱壳结构的第i分段分布着沿x方向、θ方向、z方向外力fu,i,fv,i,fw,i，此时结构第i分段的外力作功为

(5)

圆柱壳体的第i段、第i+1段的界面上的附加能量泛函为

(6)

式中：λ,β,ϑ,ψ分别为柱壳结构分段i与i+1交界面处的未知拉格朗日乘子；Θu,Θv,Θw和Θr分别为柱壳结构分段i与i+1交界面处位移协调方程，可以表示为

(7)

将式(2)～式(6)代入式(1)，并根据广义变分原理，对ui，vi，wi，ui，vi+1，wi+1，∂wi/∂x，∂wi+1/∂x，λ，β，ϑ和ψ做变分运算，可得到

(8)

(9)

(10)

(11)

将式(8)～式(11)代入式(1)后得到新的能量泛函

(12)

式中：Nx=λ;Nθ=β;Qx=ϑ；-Mx=ψ。

为了保证数值算法的计算稳定性，在式(12)的基础上添加一项子结构交界面位移连续方程的最小二乘加权参数残值∏κ,L，此时，结构的完整能量泛函表示为

(13)

(14)

式中：κu,κv,κw和κr为柱壳分段后第i段和第i+1段分区界面加权参数。

在式(14)中引入边界条件控制参数ςu，ςv,ςw，ςr通过控制参数的选取来控制边界条件。此时的能量泛函可以表示为

(15)

表1给出了多种边界条件下的控制权参数，可通过选择不同权参数模拟不同的边界条件。

表1 不同边界条件对应的控制参数ςt(t=u,v,w,r)

1.2 位移函数的表达式

对于柱壳结构，其位移函数[15]采用Chebyshev行列式[16-17]和傅里叶级数进行展开，系统的位移可以写成

(16)

(17)

(18)

式中：P和N分别为圆柱壳母线方向上位移分量的Chebyshev多项式截断值，N为壳体周向位移分量的傅里叶级数截取阶数；Φp(x)为Chebyshev行列式，表示圆柱壳体轴向阶数；fni(θ)为傅里叶级数，表示圆柱壳体周向波数，它们分别表示为

Φ0(x)=1,Φ1(x)=x,
Φi+2(x)=2xΦi+1(x)-Φi(x)

(19)

fn1(θ)=cos(nθ)+sin(nθ)

(20)

fn2(θ)=sin(nθ)+cos(nθ)

(21)

fn3(θ)=cos(nθ)+sin(nθ)

(22)

2 柱壳结构振动求解

2.1 柱壳结构受迫振动特性方程的求解

在上文中建立了柱壳结构的广义能量泛函，但是并未推导出结构的受迫振动特性求解方程。柱壳结构的整体能量泛函可以表示为

(23)

由前面级数的位移表达式可知，柱壳结构分段i的位移容许函数ui，vi，wi由三角级数与第一类正交切比雪夫多项式表示，从式(15)～式(18)可以看出，位移表达式中都存在关于时间的未知位移系数式。因此，式(23)对未知位移系数进行变分运算，可得到结构的受迫振动特性方程

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

在本文中，不直接对式(24)进行求解，而是提出另外一种求解过程，将求解问题转化到广义系统坐标中，减少了广义坐标以后的运动方程表示为

(29)

(30)

(31)

将其代入式(15)～式(17)即可得到在不同频率下结构的稳态响应。

2.2 收敛性分析

在结构的受迫振动特性分析展开之前，需要对最小二乘加权参数的收敛性进行分析，得出最佳的最小二乘加权参数。根据前面所定义的边界条件，选取F-E边界条件，即柱壳结构的左端为自由边界，结构的右端为弹性边界，弹性参数取值为ku=kv=2×108N/m，结构参数为：L=6 m，R=1 m，h/R=0.01，E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，μ=0.3。位移容许函数在母线方向上的切比雪夫正交多项式的截断值为8，结构分段数NL=2。频率无量纲化计算公式为

Ω=ωR(ρ(1-μ2)/E)1/2

(32)

表2给出了不同周向波数下，不同最小加权参数对结构前五阶无量纲化固有频率的影响，可以看出，当加权参数增大时，结构的固有频率也随之增大，当加权参数达到某一个临界取值时，结构的计算结果趋于稳定。在实际数值计算中，加权参数的取值不可能无穷大，同时为保证计算的绝对数值稳定性，根据表2中计算结果，在后续的计算中，最小二乘残差加权系数取值为κ=1×1014。

表2 最小二乘加权参数收敛性分析

在对加权参数分析的基础上，由本文的计算模型可知，对结构进行分段时，壳段数不可能无限大，只有选取合理的分段数，才能保证数值计算的计算效率和精度，因此需对分段数的收敛性进行分析。结构参数与表2所用计算模型保持一致，并且加权参数取值为κ=1×1014。表3给出了不同分段数下对结构不同阶数的无量纲化固有频率Ω的影响，无量纲化公式与表2保持一致，为了验证收敛性分析的正确性，有限元计算所得的结果作为参照值也在表3中列出。

由表3可以看出，当NL=8时，其计算结果与已经保持在小数点后六位保持一致，因此，在后续的计算中，如不做特别说明，柱壳分段数取值为NL=8。

表3 区域分段数的收敛性分析

3 柱壳结构受迫振动响应研究

3.1 模型验证

图2 C-C边界条件下受径向载荷圆柱壳位移响应曲线Fig.2 Displacement response of cylindrical shell with radial load under C-C boundary condition

图3 C-C边界条件下受轴向载荷圆柱壳位移响应曲线Fig.3 Displacement response of cylindrical shell with axial load under C-C boundary conditions

通过图2与图3的对比可以发现，当圆柱壳受径向载荷时，在0～500 Hz内，本文所用方法计算得到的振动响应值与有限元方法计算得到的振动响应值拟合良好；当圆柱壳受轴向载荷作用时，在0～350 Hz内，本文方法计算得到的振动响应值与有限元方法计算得到的振动响应值拟合良好，在350～500 Hz内，两种方法计算得到的振动响应值在量级上保持一致，峰值产生一定偏移，最大偏移误差为0.56%，因此可证明本文方法的正确性。从图中还可以看出，在低频段波峰较小，在高频位置处波峰较为密集，并且在众多波峰值中，在结构的第一阶固有频率处其响应峰值最大，这也是在实际工程中总是关注结构基频的原因。

3.2 边界条件对柱壳结构受迫振动响应的影响

给出不同弹性边界条件下在相同的单位激励下P点与Q点的位移响应曲线，定义弹性边界E1(u=v=w=0,∂w/∂v≠0)。

由图4可知，当圆柱壳的边界条件发生改变时，相同激励载荷作用下其位移响应曲线会发生相应变化，共振波峰的数目以及共振幅值都会发生变化。在相同的扫频范围内，SS-SD边界下的波峰数目最多，其次为C-F，最小为C-C；当约束刚度变大时，结构固有频率的波峰会发生右移，但结构的一阶固有频率几乎不发生变化。

图4 不同边界条件下受径向载荷作用的圆柱壳位移响应曲线Fig.4 Displacement response of cylindrical shell with radial load under different boundary

图5 不同弹性边界下受径向载荷作用的圆柱壳位移响应曲线Fig.5 Displacement response curve of cylindrical shell with radial load under different elastic boundary

从图5可以看出，当弹性边界弹簧刚度值逐渐增大时，结构响应曲线的总体趋势向着高频方向发生小范围的移动，共振波峰处频率值逐渐增大，位移响应的整体幅值也随着波峰移动发生变化。此外，当K的刚度值从1×104增加至1×106时，结构的共振峰值几乎不发生变化，说明此刚度范围对结构的受迫振动影响较小，随刚度值进一步增加，曲线发生了明显的移动，表明圆柱壳结构对1×106以后的刚度值变化较为敏感。

3.3 结构参数对柱壳结构受迫振动响应的影响

图6 在C-C边界条件下受径向载荷时不同厚度圆柱壳的位移响应曲线Fig.6 Displacement response curves of cylindrical shells with different thickness under radial load under C-C boundary conditions

图8 在C-C边界条件下受径向载荷时不同阻尼系数圆柱壳位移响应曲线Fig.8 Displacement response curves of cylindrical shells with different damping coefficients under the radial load under the C-C boundary condition

图7 在E2-E3边界条件下受径向载荷时不同厚度圆柱壳的位移响应曲线Fig.7 Displacement response curves of cylindrical shells with different thickness under radial load under E2-E3 boundary conditions

图9 在E2-E3边界条件下受径向载荷时不同阻尼系数圆柱壳位移响应曲线Fig.9 Displacement response curves of cylindrical shells with different damping coefficients under the radial load under the E2-E3 boundary condition

从图6与图7可以看出，壳结构厚度发生变化时，结构的响应曲线发生了较大的变化，在相同的频率范围内，结构的厚度越小，其波峰的数量越多，且响应值越大，由此可知，结构壳体的厚度可使结构振动特性发生较大改变。从图8与图9可以看出，结构损耗因子增大时，结构的共振峰频率几乎不发生改变，而共振峰处的响应幅值明显降低很多，这是由于损耗因子的增大，使得结构自身对外界能量吸收更多，导致其响应值下降，由此可知，损耗因子的改变，不影响结构的固有频率，仅对其响应产生一定的影响。