二重积分计算公式的一个推导方法

中国劳动关系学院数学与计算机教学部 郑红芬 贾屹峰

直角坐标系下二重积分化为二次积分，是重积分的基础，传统的方法是通过计算平行截面面积已知立体的体积完成的。在[2]中，采用的坐标系不是常见的，而且推导过程中需要把立体的图形平面化，使得部分学生难以理解。这里采用生活中常见的切片面包作为实物模型，利用元素法直接计算曲顶柱体的体积，得到二重积分的计算公式，将抽象的知识具体化，并在实际教学过程中得以应用，取得了很好的效果。

根据二重积分的几何意义，二重积分的计算归结为求曲顶柱体的体积。图1 所示的面包外形是曲顶柱体，我们以此为具体的实物模型，计算曲顶柱体的体积。

图2 是图1 面包所对应的曲顶柱体。设曲顶所对应的曲面方程为z=f(x，y)，其在xOy面上的投影D是Y型区域，即：

图1 中的面包是切片面包，在图2 中，相当于用一组垂直于y轴的平面 截曲顶柱体，将其分割成n个薄曲顶柱体，其中，y0=c，yn=d，且y0＜y1＜…＜yn

如果能够算出所有面包片的体积V（yi），代入上式，即可求得整个面包的体积V。从图2 中任取一个薄曲顶柱体，如图3。

图3

其中，A(y)是垂直于y轴的平面截曲顶柱体所得的截面积。

如果能够求出截面积A(y)，代入（7）式，就可以计算出曲顶柱体的体积。为了求截面积A(y)，首先需要知道截面是什么图形，任取一个面包片，把它的外形画在黑板上，如图4。

图4

图5

则任一垂直于y轴的平面，截曲顶柱体所得的截面面积为

把上式代入(7)式，可得曲顶柱体的体积

曲顶柱体的体积也就是二重积分的值，进一步可以写成：

从而，二重积分就化为了二次积分，f(x,y)＜0，上式仍然成立，因此，（15）式就是Y 型区域二重积分的计算公式。

以切片面包辅助推导二重积分计算公式具有非常好的直观性，学生获得丰富的感性认识，在把课本上的知识同现实生活结合起来的同时，使得高等数学不再枯燥，激发了学生学习高等数学课程的兴趣。