关于积分上限函数及其导数的教学设计

重庆交通大学 段成均

由于积分上限函数是一个全新的概念，对它的学习，我们必须把握对数学概念理解的通用的步骤，那就是：概念的引入，概念的准确描述，概念所定义对象的性质，给定对象是否满足概念的定义，与概念相关的技巧培养。

一、相关概念的回顾及积分上限函数的引入

x 1 2 3 4… x 2 8 …

二、积分上限函数的意义是给出f（x）的一个原函数

定理1： 设f（x）在区间[a，b]2上连续，则φ（x）可导并且φ'（x）=f（x）。

通过对定理的证明，加深学生对f（x）的连续性假设的理解。同时给出不定积分与积分上限函数的联系，即f（x）的原函数与积分上限函数相差常数C：

三、关于积分上限函数的分析性质的讨论

在介绍和证明积分上限函数的分析性质时，除了定理1 中的可微性，我们还可以补充一个关于它的连续性的命题。即：

定理2：设f（x）在区间[a，b]2上可积分，则φ（x）在[a，b]2上连续。

为了让学生对φ（x）的连续性和可导性有更直观的了解，介绍如下例题：

解：因为f（x）在[-1,2]有界且仅有一个间断点，所以f（x）在[-1,2]可积分，从而φ（x）在[-1,2]连续。

四、与概念相关的技巧训练

为了让学生熟练掌握上面的求导公式，我们由浅入深地讲解如下三个例题。例2 是常见积分上限函数求导，例3 是关于积分上限函数的极限训练，例4 是常见两类特殊函数求导。

例2 计算下列各题：

例4 （1）已知求F'（x）。

分析：被积函数里含有x，故F（x）不是积分上限函数，但我们可以通过将x提到积分号外或换元，把问题转化为可以利用积分上限函数导数的问题来做。

（2）令μ=t-x，dt=du，

所以F'（x）=f'（-x）。

总的来说，在讲解一个新概念时，我们要思考概念是怎样引入的，和已经学过的旧概念有什么内在联系，概念的实质是什么，利用概念及其相关结论可以解决哪些问题。同时，由于数学概念非常抽象，所以我们要想办法降低其抽象度，以具体数字代替公式中的字母，用具体表达式代替抽象表达式，多从学生角度思考问题，教学效果会一步一步得到提高。