大学视角下的中学数学(导数)

李尚志

(北京航空航天大学 100083)

例1(2017理科数学全国卷Ⅲ第21题)函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

解(1)f(1)=0.要使f(x)≥0在定义域(0,+∞)内成立，

(2)由(1)知道lnx≤x-1对x>0成立.

记t=x-1，则x=1+t.ln(1+t)≤t对t>-1成立.因此

因此m>2.只能m=3.

大学视角第(1)小题的做法是很常规的基本方法，得出的不等式

f(x)=x-1-lnx≥0,即lnx≤x-1(∀x>0)

却是攻克第(2)小题的关键.本题的第(1)小题不是为了为难学生，反而为了提示他们利用以上不等式得到

帮助做第(2)题.

不过，我一看到第(2)题首先想到的不是对数不等式lnx≤x-1,而是指数不等式ex≥1+x.直接得到

不需要借助对数绕圈子.

借题发挥 自然对数为什么最自然

我第一次见到e，是中学课本上讲对数的最后一句话：“科学上通常用一个无理数e=2.71828…作为对数的底，叫做自然对数.”为什么不用最自然的10为底，偏要用一个无理数？当时觉得一点都不自然.

1.幸运斜率为何幸运

中学数学现在学了幂函数、指数函数、对数函数的导数公式，并且成为高考中必考内容.导数用来干什么？一个重要用途是判定函数的递增、递减、极值.还有一个简单而重要的用途是求切线方程.

图1

由图看出：曲线y=lnx始终在切线y=x-1下方.始终有x-1≥lnx,x-1-lnx≥0.这正是例1第(1)小题的答案.如果y=alnx在点(1，0)的切线斜率a≠1,曲线y=alnx与直线y=x-1在点(1，0)相交而不相切，曲线在这点穿越直线y=x-1,不可能始终在直线y=x-1下方，不能保持x-1-alnx≥0.

将平面上所有的图形关于直线y=x作轴对称变换，则右下方的对数曲线y=lnx及其切线y=x-1翻转到左上方的x=lny及其切线x=y-1，也就是变成指数曲线y=ex及其切线y=1+x，指数曲线始终在切线的上方，不等式ex≥1+x对所有实数x成立.

指数曲线y=ex在点(0，1)的切线斜率也可用指数函数f(x)=ex求导公式(ex)′=ex得到：f′(0)=e0=1，切线方程为y=1+x.

为什么对数曲线y=lnx在点(1，0)的切线斜率正好是1，指数曲线y=ex在(0，1)的切线斜率也正好是1？为什么如此幸运？

不是天上掉下来的幸运.是我们选择了对数函数y=logax和指数函数y=ax的底a=e,才赢得了如此幸运.

我们来计算对数函数f(x)=logax在x=1的导数f′(1).

=logae,

要使f′(1)=logae=1,只能选a=e，得到的对数记为lnx,称为自然对数，它在(1,0)的切线方程为y=x-1.

如果换成常用对数f(x)=lgx=log10x,则使f′(1)=lge≈0.43429,切线方程为y=0.43429x-1.你认为比y=x-1更自然吗？

再来计算对数函数f(x)=logax在任意x>0的导数

再来计算指数函数y=f(x)=ax在x的导数

令u=at-1，则t=loga(1+u).当t→0时u→0，

因此

取a=e,则(ex)′=ex,f′(0)=e0=1，曲线y=ex在点(0,1)的切线方程为y=1+x.如图1.

2.对数表怎样编出来的

7640÷2784=10b÷10c=10b-c,

由x=10y算指数y就是求对数y=log10x,x叫做真数.以10为底的对数log10x简记为lgx，称为常用对数，需要编出对数表，由真数x查对数y=lgx.还需要反对数表由对数y=lgx查真数x=10y.

怎样编对数表？算出10的正整数次幂10y=x.则y=lgx.例如

x110100y=lgx012

这个对数表基本上没什么用：x值从1跳到10间隔太大，2，3，…，9全都没有，更别说2.784，7.640了.怎么改进？假如能够算出10的1万次方根q=100.0001,将q的9999个正整数次幂λm(1≤m≤9999)插入1与10之间的大间隔，分割成10000个微小间隔.则lgq=0.0001，lg(qm)=0.0001m.这个对数表的精确度就很高了：

x1qq2…qm…q999910y=lgx00.00010.0002…0.0001m…0.99991

x=1.0001m11.00011.0002…2.718146…102.74436m012…10000…2302710096lgx≈m2302700.0000430.000087…0.43427…10.43844lnx≈m1000000.00010.0002…1…2.30271.0096

x2.783892.78417…3.58707…7.64001…10m1023910240…12774…20335…23027lgx0.444650.44470…0.55474…0.88309…1lnx1.02391.0240…1.2774…2.0335…2.3027

=lg7.640-lg2.784

=0．88309-0．44465=0．43844

⟹7640÷2784≈2．744．

=(3+0．88309)÷7=0．55473

简而言之：用1．0001的幂编出的对数表中，当x=1．0001m，则

(1)幂指数m=log1.0001x是1．0001的对数．

3．三角函数的幸运斜率

代入得

答案：C．

例2看起来不涉及导数，其中关键的不等式sinx

什么是正弦和正切?如图2．以角AOB的顶点O为圆心画单位圆,弧AB的弧长x表示∠AOB．作直角三角形ODB，OAT．则

|DB|=sin∠AOB=sinx，

|AT|=tan∠AOB=tanx.

图2

直角三角形DAB的直角边长|DB|<斜边长|AB|<弧长AB．也就是sinx弧长AB=x．更确切的证明是利用面积不等式：S△OAB

⟹sinx

由此不等式得到

作DB和圆弧AB关于OA的轴对称图形DC，AC．当∠BOC所对弧长BC=2x→0，

用弦长|BC|=2sinx代替弧长的相对误差

由此得到，f(x)=sinx与g(x)=tanx在x=0的导数

曲线y=sinx与y=tanx在(0，0)有公切线y=x．如图3．

与y=lnx，y=ex不同的是：正弦曲线和正切曲线并非始终在切线y=x同一侧，而是在切点越过切线到了另一侧．

图3

对数曲线y=lnx在点(1,0)的切线斜率为1，是选择对数的底a=e的结果．正弦曲线y=sinx与正切曲线y=tanx在(0，0)的切线斜率等于1，则是用弧度制的结果．正是由于用圆心角在单位圆周上所对的弧长x来度量角，当x→0时弦长2sinx与弧长2x趋于相等，比趋于1，才导致了函数y=sinx在x=0的导数等于1．