顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS估计及路基沉降变形预测

康传利,陈 洋,顾峻峰,周 吕,徐骏平

(1.桂林理工大学 a.测绘地理信息学院; b.广西空间信息与测绘重点实验室, 广西 桂林 541006;2.武汉大学 测绘学院, 武汉 430079; 3.东华理工大学 江西省数字国土重点实验室, 南昌 330013; 4.湖北天尚土地勘测规划设计有限公司,武汉 430071)

提高预测精度需要对误差的来源进行分类并加以改正。在数据处理方面,灰色Verhulst模型未知参数的求解常在最小二乘(least squers,LS)条件下进行。事实上,当观测值包含误差时,由观测值累加而形成的白化微分方程系数矩阵同样包含误差,此时,灰色Verhulst模型的最小二乘解是有偏的[1]。路基沉降前期,沉降速率大,前期数据预测拟合精度对最终沉降预测值影响巨大。鉴于此,本文提出了一种基于灰色Verhulst模型总体最小二乘(total least squares,TLS)计算新方法。该方法顾及系数矩阵误差及特殊结构, 减少了未知参数个数, 并对初始预测值进行了最优求解。 以贵广高铁路基沉降预测为例, 对路基沉降常用预测模型进行预测精度对比分析, 验证了本文新方法预测精度高, 可以广泛用于路基沉降预测。

1 估计方法

1.1 灰色Verhulst-LS估计

灰色Verhulst模型常用于具有饱和状态过程的实际问题,其一阶白化非线性微分方程为[2]

dX(1)/dt=-aX(1)+b·(X(1))2。

(1)

(2)

式中：A为系数矩阵；L为观测向量。若观测值的协因数阵为Q, 在最小二乘条件下可求出未知参数a、b的最优解：

C=(ATQ-1A)-1ATQ-1Y。

(3)

1.2 灰色Verhulst-TLS估计

受外界环境、 仪器因素、 人为条件的影响,观测数据X(0)(k)不可避免的会包含误差[3-4]，则由X(0)(k)经过一次累加并取平均值形成的系数矩阵A中同样包含误差。 TLS估计兼顾系数矩阵和观测向量误差[5], 因此常用于系数矩阵和观测向量同时包含误差的方程求解。 根据式(1)的灰色Verhulst的变量误差模型(errors-in-variables,EIV)为[6]

L+VL=(A+EA)C,

(4)

式中:EA表示系数矩阵的改正数;VL表示观测向量改正数,其随机模型为

(5)

其中， vec(·)表示拉直运算。 需要注意: 一般情况下, 常未考虑系数误差矩阵EA中各误差分量之间的相互关系,EA中未知参数的个数为2(n-1)。

总体最小二乘算法的平差准则为

vec(EA)T·vec(EA)+VLTVL=min。

(6)

1.3 顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS估计

(7)

根据系数矩阵误差特点,可令

VA=DVa,

(8)

(9)

(10)

其中: vec-1(·)表示vec(·)的逆运算。可写成间接平差形式

(11)

式中: ⊗为矩阵的克罗内克积。进一步可以表示为

V′=B′X′-L′。

(12)

根据最小二乘平差原理。未知参数的解为

X′=(B′TB′)-1B′TL′。

(13)

1.3.2 初始值优化 顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS估计可以计算出灰色Verhulst模型白化方程未知参数最佳估值a、b。 在工程上,常直接令白化方程解的初值为x(0)(1)。 事实上, 最优预测曲线不一定经过x(0)(1)点,并且第1期路基沉降预测值对最终路基沉降预测值影响巨大。为提高模型的预测精度,需要对初值进行优化。根据灰色Verhulst模型求解原理,设灰色Verhulst模型白化方程的解为[10]

(14)

(15)

根据极限定理,令dQ/ds=0,即可得唯一驻点:

(16)

(17)

其中，k=1,2,…,n-1。

2 工程实例比较分析

贵广高速铁路是 “十一五”规划的重点项目,高速铁路建设需严格控制工后沉降,路基沉降观测是确保高速铁路正常运营的重要部分。路基评估要求在路基填筑完成或堆载预压后不少于3个月的实际观测,并根据观测数据作多种回归曲线,当曲线回归的相关系数不低于0.92时,预测方程方可用于沉降预测[2]。因此,如何提高预测精度是沉降数据处理的重要内容。铺轨前6个月对路基进行路基沉降观测,沉降数据取至路基沉降中后期,每7天为1个周期。采用TrimbleDi Ni03 电子水准仪按国家二等水准要求对沉降板进行沉降观测,监测点位于路基中央。由于本段路基沉降观测数据沉降变化基本相同,选具有代表性的监测点A进行沉降预测分析。沉降点A监测期为1年,共获得了52期观测数据,其沉降观测值和总沉降量见图1。

图1 沉降点A本期沉降观测值和总沉降量变化Fig.1 Sedimentation observations and total settlement changes in settlement Point A

沉降点A开始监测时下沉速率较快, 后期趋于稳定, 具有饱和发展过程。 受测量仪器、 环境和人为影响, 观测数据中不可避免会存在误差[7], 因此, 在路基沉降观测后期, 观测值仍在不断波动。 观测数据存在误差, 则由观测数据一次累加而形成的白化非线性微分方程系数矩阵同样存在误差, 此时最小二乘解是有偏的, 因此, 如何建立一个更符合客观实际的数学模型来求解路基下沉真实沉降曲线就显得十分重要。 为综合比较本文新算法的有效性和可靠性, 本文选用灰色Verhulst模型的LS估计, TLS估计和顾及系数矩阵TLS估计对A点前12期数据进行建模, 预测后40期数据,并综合比较各模型的拟合精度和预测精度。

2.1 灰色verhulst模型不同估计方法比较

使用前12期数据进行建模时, 若使用LS估计, 式(1)中有2个未知数a、b; 当使用TLS估计方法, 式(4)中共有26个未知数; 若使用顾及系数矩阵的TLS估计, 式(10)共有14个未知参数。 因此, 总体最小二乘估计会成倍增加未知参数个数, 若使用顾及系数矩阵的TLS估计, 将会减少未知方程个数。 上述3种不同估计的拟合精度见表1。

表1 不同估计方法拟合数据精度

Table 1 Accuracy of model fitting data mm

在灰色Verhulst模型建模中常令预测初始值为观测数据的第1个值, 在本文中LS估计、 TLS估计未对初值进行改正。 而顾及系数矩阵TLS估计初值是在残差平方和最小的条件下求出, 可知,对初值进行最优求解有利于提高整体的拟合精度。 LS估计、 TLS估计和顾及系数矩阵结构TLS估计残差平方和分别为18.819 1、 16.938 0、 1.130 1,残差变化见图2, 顾及系数矩阵结构TLS估计预测残差围绕零点上下波动, 残差较小。 综合比较上述3种估计方法的预测残差可知: 在灰色Verhulst模型的不同估计方法中, 顾及系数矩阵结构TLS估计拟合精度高于LS、 TLS估计。 TLS估计拟合精度高于LS估计, 说明灰色Verhulst模型系数矩阵中包含误差, 对系数矩阵进行误差改正有利于提高拟合精度。但TLS估计和LS估计拟合预测值基本相同,表明观测值中所含噪声较少,系数矩阵改正量少。而顾及系数矩阵结构TLS估计拟合精度高于TLS估计,说明在观测方程数和顾及误差来源不变的情况下,减少未知参数个数、进行初值优化有利于提高拟合预测精度。

图2 灰色Verhulst模型不同估计方法残差变化Fig.2 Residual changes in different estimation methods in Gray Verhulst model

图3为3种不同估计方法预测值变化。可知，灰色Verhulst模型的LS估计、 TLS估计和顾及系数矩阵结构的TLS估计预测值在15期后预测下沉量基本趋于零,且预测精度都靠近真实数据。 试验表明, LS估计、 TLS和顾及系数矩阵结构的TLS估计都不会改变灰色Verhulst模型的含有饱和状态的性质, 预测稳定、精度高。 LS估计、 TLS估计和顾及系数矩阵结构的TLS估计预测的最终沉降量分别为20.935、 20.913、 21.136 mm。 顾及系数矩阵结构的TLS估计预测值最接近最终路基沉降量, 表明兼顾系数矩阵和观测向量误差、减少未知参数个数、进行初值优化有利于提高预测精度。

图3 灰色Verhulst模型不同估计方法拟合数据与预测数据变化Fig.3 Gray Verhulst model predict data graphs change in different estimation methods

2.2 不同曲线拟合方法比较

为比较顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS估计和常用预测模型GM(1,1)、 双曲线模型[11]在高铁路基沉降中的预测精度, 本次试验仍选用沉降监测A点的前12期数据建立模型, 然后预测后40期, 预测值见图4。双曲线模型拟合精度和预测精度最差, 在预测后期仍以较大的增长速率增长, 明显不符合路基沉降规律, 说明双曲线法的线性变化受拟合数值的影响较大。GM(1, 1)预测值虽然在拟合期具有较高的拟合精度, 但在预测后期仍以一定速率增长, 预测精度低。因此, GM(1,1)可以用于短期路基沉降预测, 但长期预测不可靠。GM(1,1)和双曲线模型都没有将路基沉降具有饱和发展过程纳入模型予以考虑, 预测精度低。顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS估计具有灰色Verhulst模型包含饱和发展过程的特性, 并且在数据处理时考虑多种误差的影响, 同时又适当的减少了未知参数, 具有较高的预测精度。

图4 GM(1,1)、双曲线法和本文方法预测数值对比Fig.4 Predictive numerical comparison in GM (1,1), hyperbolic method and the new method

3 结 论

本文提出的顾及系数矩阵结构的灰色Verhulst-TLS估计, 并用新算法同灰色Verhulst模型LS估计、 灰色Verhulst模型TLS估计、 GM(1,1)、 双曲线法进行预测值比较,通过各模型精度对比分析得出如下结论:

(1)路基沉降观测数据包含测量误差时,灰色Verhulst模型中白化微分方程的系数矩阵同样包含误差,TLS估计顾及系数矩阵和观测向量误差在数据处理方面考虑误差较LS估计全面,同时,预测精度高于LS估计。

(2)TLS估计会成倍地增加白化微分方程中的未知参数, 这不仅会增加计算量, 还会降低模型的稳定性。灰色Verhulst模型系数矩阵的误差分布具有一定的规律,运用顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS估计方法,可以有效减少未知参数,提高预测精度。

(3)若直接令灰色Verhulst模型预测初值为观测值时,会造成预测数据整体偏离真值,因此预测初值应在残差平方和最小条件下求取。通过将顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS方法同GM(1,1)模型、 双曲线法预测精度对比发现: 双曲线法和GM(1,1)模型都不包含饱和发展过程, 不符合高铁路基沉降变化趋势, GM(1,1)不适合作长期预测；顾及系数矩阵结构灰色Verhulst-TLS算法线性变化符合路基沉降变化趋势,参数少,预测精度高,能够快速准确的识别路基沉降真实曲线,可以广泛应用于路基沉降预测。