Toader型平均的调和、几何、形心和反调和平均界

何晓红, 徐会作, 钱伟茂

(1. 衢州广播电视大学 教务处, 浙江 衢州 324000; 2. 温州广播电视大学 教师教学发展中心, 浙江 温州 325000;3. 湖州广播电视大学 继续教育学院, 浙江 湖州 313000)

对于p∈R和a,b>0且a≠b,p阶幂平均Mp(a,b)、调和平均H(a,b)、几何平均G(a,b)、算术平均A(a,b)、二次平均Q(a,b)、心形平均E(a,b)、反调和平均C(a,b)和Toader平均T(a,b)[1]分别定义为：

Mp(a,b)=[(ap+bp)/2]1/p,p≠0,

(1)

(2)

(3)

对于固定的a,b>0且a≠b,p阶幂平均Mp(a,b)关于p∈R是严格单调增加的,且是对称的和一阶齐次的,则有熟知的不等式

H(a,b)=M-1(a,b)

M0(a,b)

T(a,b)

M2(a,b)

(4)

对于所有的a,b>0且a≠b成立.

众所周知，一直以来Toader平均T(a,b)得到了许多数学工作者的关注和研究.对所有a,b>0且a≠b,它满足

T(a,b)=RE(a2,b2),

其中

表示第二类对称完全椭圆积分[2-4].

对于r∈(0,1),第一类和第二类完全椭圆积分分别定义为[5]

显而易见

κ(1-)=+∞,ε(1-)=1,

并且κ(r)和ε(r)满足如下公式[5]:

经变换Taoder平均可以写成

一直以来,Toader平均得到了深入的研究.在特殊情形,许多涉及完全椭圆积分的不等式可参阅文献[6-12].Vuorinen[13]猜想

M3/2(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立.这个猜想分别由文献[14-15]作者给出了不同证明.Alzer等[16]证明了

T(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立.

Neuman[2]和Kazi等[3]证明了不等式

对所有a,b>0且a≠b成立,其中

是Gauss几何算术平均.

文献[17-21]证明了

α1Q(a,b)+(1-α1)A(a,b)

β1Q(a,b)+(1-β1)A(a,b),

α2E(a,b)+(1-α2)A(a,b)

β2E(a,b)+(1-β2)A(a,b),

α3C(a,b)+(1-α3)A(a,b)

β3C(a,b)+(1-β3)A(a,b),

α4C(a,b)+(1-α4)H(a,b)

β4C(a,b)+(1-β4)H(a,b),

α5[C(a,b)-H(a,b)]+A(a,b)

β5[C(a,b)-H(a,b)]+A(a,b)

α6Q(a,b)+(1-α6)H(a,b)

β6Q(a,b)+(1-β6)H(a,b)

对于所有a,b>0且a≠b成立当且仅当

注意到

G(a,b)=M0(a,b)

A(a,b)=M1(a,b)

(6)

对于所有a,b>0且a≠b成立.从不等式(4)和(6)可以得到

H(a,b)

A(a,b)

(7)

根据不等式(7),很自然会问是否存在最佳参数α1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈(0,1)使得下列双向不等式:

α1E(a,b)+(1-α1)G(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β1E(a,b)+(1-β1)G(a,b),

α2E(a,b)+(1-α2)H(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β2E(a,b)+(1-β2)H(a,b),

α3C(a,b)+(1-α3)G(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β3C(a,b)+(1-β3)G(a,b)

α4C(a,b)+(1-α4)H(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β4C(a,b)+(1-β4)H(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立？本文的目的是回答这个问题.

1 引理

为了证明结果,本节给出如下引理.

引理 1.1[5]对于-∞

也是单调递增(递减).如果f′(x)/g′(x)是严格单调的,上述结论的单调性也是严格的.

引理 1.2[5]1) 函数

在(0,1)内是严格单调递增的且值域为(π/4,1).

2) 函数

在(0,1)内是严格单调递增的,且值域为(π/4,+∞).

引理 1.3函数

在(0,1)内是严格单调递增的且值域为(π/16,+∞).

证明设

μ(r)=(2-r2)κ(r)-2ε(r),ν(r)=r4,

则

(8)

简单计算可得

μ(0+)=ν(0)=0,

(9)

(10)

引理 1.4函数

在(0,1)内是严格单调递增的,且值域为(1/2,1).

证明简单计算可得

(12)

对φ4(r)求导可得

根据引理1.3和(13)式可知

(14)

对所有r∈(0,1)成立.所以,引理1.4容易从(12)和(14)式得到.

2 主要结果

定理 2.1双向不等式

α1E(a,b)+(1-α1)G(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β1E(a,b)+(1-β1)G(a,b)

(15)

对所有a,b>0且a≠b成立当且仅当α1≤3/10和β1≥3/(2π)=0.477 4….

证明根据G(a,b)、T(a,b)和E(a,b)是对称和一阶齐次的,并且

G(a,b)

不失一般性,假设a>b>0.设r=(a-b)/(a+b)∈(0,1),则从(1)～(3)和(5)式可得:

(16)

(17)

从(16)和(17)式可推得

(18)

设

(19)

简单计算可得

f1(0+)=f2(0)=0,

(20)

(21)

(22)

(23)

所以,定理2.1容易从(22)和(23)式和f(r)的单调性得到.

定理 2.2双向不等式

α2E(a,b)+(1-α2)H(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β2E(a,b)+(1-β2)H(a,b)

(24)

对所有a,b>0且a≠b成立当且仅当α2≤3/(2π)和β2≥9/16.

证明不失一般性,假设a>b>0.设r=(a-b)/(a+b)∈(0,1),则从(16)、(17)式和H(a,b)=A(a,b)(1-r2)可推得

(25)

设

(26)

简单计算可得

g1(0+)=g2(0)=0,

(27)

(28)

根据(26)～(28)式和引理1.2的2)结合引理1.1,可以看到函数g(r)在(0,1)上是严格单调递减的.注意到

(29)

(30)

所以,定理2.2容易从(25)、(29)和(30)式结合g(r)的单调性得到.

定理 2.3双向不等式

α3C(a,b)+(1-α3)G(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β3C(a,b)+(1-β3)G(a,b)

(31)

对所有a,b>0且a≠b成立当且仅当α3≤1/6和β3≥1/π.

证明不失一般性,假设a>b>0.设r=(a-b)/(a+b)∈(0,1),则从(16)、(17)式和C(a,b)=A(a,b)(1+r2)可推得

(32)

设

(33)

简单计算可得

h1(0+)=h2(0)=0,

(34)

(35)

(36)

(37)

所以,定理2.3从(32)、(36)和(37)式结合h(r)的单调性得到.

定理 2.4双向不等式

α4C(a,b)+(1-α4)H(a,b)<

T[A(a,b),G(a,b)]<

β4C(a,b)+(1-β4)H(a,b)

(38)

对所有a,b>0且a≠b成立当且仅当α4≤1/π和β4≥3/8.

证明不失一般性,假设a>b>0.设r=(a-b)/(a+b)∈(0,1),则有

(39)

设

(40)

简单计算可得

j1(0+)=j2(0)=0,

(41)

(42)

根据(40)～(42)式和引理1.2的2)结合引理1.1可推得函数j(r)在(0,1)是严格单调递减.注意到

(43)

(44)

所以,定理2.4容易从(39)、(43)和(44)式结合j(r)的单调性得到.

根据定理2.1～2.4得到一个新的第二类完全椭圆积分的确界如下:

推论 2.1双向不等式

(45)

对所有r∈(0,1)成立.

注 1在文献[22]中证明了对所有r∈(0,1)有不等式

(46)

Guo等[23]得到

(47)

对所有r∈(0,1)成立.

设

对这3个函数在r=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9的函数值进行数值计算,如表1.

设

对函数J4(r)、J5(r)和J6(r)在r=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.98的函数值进行数值计算,如表2.

从表1和表2可知,存在若干个点使得不等式(45)的上下确界分别优于不等式(46)的上界和不等式(47)的下界.

致谢浙江广播电视大学科研课题(XKT-17G26)和浙江省现代远程教育学会2018年度重点课题(DES-18Z04)对本文给予了资助，谨致谢意.

表 1

表 2