度量G-空间中G-可链点集的研究

2019-08-27冀占江谭伟明粟光旺

四川师范大学学报（自然科学版） 2019年4期

冀占江, 谭伟明, 粟光旺

(1. 梧州学院大数据与软件工程学院, 广西梧州 543002; 2. 梧州学院广西高校图像处理与智能信息系统重点实验室, 广西梧州 543002; 3. 广西财经学院信息与统计学院, 广西南宁 530003)

可链点集、链等价集和链回归点集是拓扑动力系统中非常重要的概念,实际生活中有着广泛的应用,许多学者对其进行了充分的研究,得到很多有意义的成果[1-11].文献[1-2]研究了链等价集的动力学性质,文献[3-4]研究了链回归点的动力学性质,文献[5]研究了可链点集的动力学性质.通过以上文献的研究结果得知,可链点集、链等价集和链回归点集是相互联系,但是又有不同,例如对于同一点x来说,它的可链点集是链等价点集的真子集；链回归点x既是它自身的可链点又是链等价点；x的链等价点y也一定是链回归点,但是x的可链点y就不一定是链回归点.可以说在度量空中这3个点集的动力学性质已经研究得很透彻,但是在度量G-空间中,它们的性质却很少有学者进行研究.为了弄清楚他们的性质,本文选择度量G-空间中G-可链点集进行研究.首先根据度量空间中可链点集的定义,给出了度量G-空间中G-可链点集的概念,通过定义容易知道可链点集是G-可链点集的子集,但是也存在一个可链点集不等于G-可链点集的情况,本文后面给出了例子.其次通过推理,将度量空间中可链点集的性质推广到度量G-空间中的G-可链点集上,得到如下结果：

1)SG(x,f)是闭集;

2)SG(x,f)=SG(f|SG(x,f));

4)f(SG(fi(x),fn))=SG(fi+1(x),fn).

这些结果推广和改进了现有文献中可链点集的结论.

1 基本定义

定义 1设X是度量空间,f:X→X映射,称f一致连续,如果对∀ε>0,存在0<δ<ε,当d(x,y)<δ时,有d(f(x),f(y))<ε.

定义 2[12]设X是度量空间,G是拓扑群．若映射φ:G×X→X满足：

1) 对任意的x∈X,有φ(e,x)=x,其中e为G的单位元；

2) 对任意的x∈X以及g1,g2∈G,有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x),则称(X,G,φ)是度量G-空间,简称X是度量G-空间．为了书写方便,通常将φ(g,x)简写为gx.

特别地,若X是紧致度量空间,则称X是紧致度量G-空间.

定义 3[13]设X、Y是度量G-空间,f:X→Y连续,称f是伪等价映射,如果∀g∈G,∀x∈X,∃h∈G,有f(gx)=hf(x).

d(gif(xi),xi+1)<δ.

仿造度量空间中可链点集的定义,下面给出度量G-空间中G-可链点集的定义.

注 1通过定义易知可链点集是G-可链点集的子集,但是也存在可链点集不等于G-可链点集的情况,后面给出了例子说明了这一点.

2 若干引理

引理 1[15]设(X,d)是紧致度量G-空间,G是紧致的拓扑群,则∀ε>0,∃0<δ<ε,当d(x,y)<δ时,∀g∈G,有d(gx,gy)<ε.

引理 2设(X,d)是紧致度量G-空间,G是紧致的拓扑群,x∈X,若f:X→X同胚伪等价,则f(SG(x,f))=SG(x,f).

下证SG(x,f)⊂f(SG(x,f)).

设y∈SG(x,f),由引理1知,∃0<η0<η,当d(y1,y2)<η0时,∀g∈G,有

(1)

由f-1一致连续,则对η0/2>0,∃0<δ<η0,当d(y1,y2)<δ时,有

(2)

d(hn-2f(tn-2),tn-1)<δ,d(hn-1f(tn-1),y)<δ.

又f伪等价,故∃gn-1∈G使得

d(f(gn-1tn-1),y)<δ.

由(2)式知

结合d(hn-2f(tn-2),tn-1)<δ和(1)式知

因此

d(gn-1hn-2f(tn-2),f-1(y))<

d(gn-1hn-2f(tn-2),gn-1tn-1)+d(gn-1tn-1,f-1(y))<η，

则{x,t1…tn-2,f-1(y)}是f作用下的(G,η)链,故f-1(y)∈SG(x,f),因此SG(x,f)⊂f(SG(x,f)).

引理 3设(X,d)是紧致度量G-空间,G是紧致拓扑群,n∈N+,若f:X→X伪等价,则

SG(fn(x),fn)=SG(x,fn).

下证SG(x,fn)⊂SG(fn(x),fn).

设y∈SG(x,fn),由引理1知,∃0<ε0<ε,当d(μ,ν)<ε0时,∀g∈G,有

(3)

由fn一致连续,则对ε0/2>0,∃0<δ<ε0/2,当d(μ,ν)<δ时,有

(4)

d(g0fn(x0),x1)<δ,d(g1fn(x1),x2)<δ.

由f伪等价和(4)式知,∃h0∈G使得

由(3)式知

因此

d(g1h0f2n(x0),x2)

d(g1fn(x1),x2)<ε.

故{fn(x),x2…xk-1,y}是fn作用下的(G,ε)链,则y∈SG(fn(x),fn),因此SG(x,fn)⊂SG(fn(x),fn).

3 主要定理

定理 1设(X,d)是度量G-空间,x∈X,若f:X→X连续,则SG(x,f)是闭集.

故

d(gm-1f(xm-1),y)≤d(gm-1f(xm-1),z)+d(z,y)<η.

因此{x,x1…xm-1,y}是(G,η)链,则y∈SG(x,f),因此SG(x,f)是闭集.

定理 2设(X,d)是紧致度量G-空间,G是紧致的拓扑群,x∈X,若f:X→X连续,则

SG(x,f)=SG(f|SG(x,f)).

证明显然SG(f|SG(x,f))⊂SG(x,f).下证SG(x,f)⊂SG(f|SG(x,f)).设y∈SG(x,f)．

反证法.若不然∃η0>0,存在包含SG(x,f)的开集U0,对任意在f作用下的从x到y(G,η0)链,至少有一个元素不在在U0中.取正数序列{ηk}k≥1,且满足ηk<η0,k≥1,ηk→0.因此对f作用下的从x到y(G,ηk)链,必有一个元素不在在U0中,不妨记为zk.由X的紧致性,设zk→z.由于X-U0是闭集,故z∈X-U0.固定m>0且满足ηm<η/2和d(zm,z)<η/2.设{t0,t1,…tm,tm+1…tl-1,tl}是上面的提到的(G,ηm)链,其中,t0=x,tl=y,tm=zm∉U0.故对∀0≤i

d(gif(ti),ti+1)<ηm.

特别地

d(gm-1f(tm-1),tm)<ηm.

故d(gm-1f(tm-1),z)<η.因此{t0,t1,…tm-1,z}是f作用下的(G,η)链,故z∈SG(x,f),这与z∈X-U0矛盾,故(*)成立.

由引理1知,∀η>0,∃0<δ0<η,当d(μ,ν)<δ0时,∀g∈G,有

(5)

由f一致连续,则对δ0/3>0,∃0<δ1<δ0/3,当d(μ,ν)<δ1时,有

(6)