非线性Sobolev-Galpern型湿气迁移方程的最低阶非协调混合元收敛性分析

张厚超, 王 安

(平顶山学院 数学与统计学院, 河南 平顶山 467000)

1 预备知识

非线性Sobolev-Galpern型湿气迁移方程[1]可以用来描述壤中的湿气迁移现象,该方程具有如下形式

(1)

其中,x=(x,y),Ω⊂R2为边界分段光滑的有界凸多边形区域,a(u)=a(x,t;u),b(u)=b(x,t;u),f(u)=f(x,t;u)是已知函数.为了讨论问题的需要,假设方程(1)中的系数满足:

(H1) 存在正常数a0、a1、b0、b1、c0、c1、e0、e1,使得∀x∈Ω,u∈R,t∈(0,T]有

a0≤a(u)≤a1,b0≤b(u)≤b1,

c0≤c(t)≤c1,e0≤e(t)≤e1.

(H2)a(u)、b(u)、f(u)关于u满足Lipschitz条件,即存在正常数L,成立

|φ(x,t;u1)-φ(x,t;u2)|≤L|u1-u2|,

∀u1,u2∈R,φ=a,b,f.

(H3) 方程(1)的精确解u∈C2(Ω)×(0,T]且存在唯一.

Sobolev-Galpern型湿气迁移方程具有深刻的物理背景,广泛应用在土壤中的湿气迁移、不同介质中的热传导以及流体穿过裂缝岩石的渗透理论中，引起了广泛关注[2-6].文献[2]讨论了多维湿气迁移方程一类解的渐近性和Blow-up;文献[3]将Riemann函数及不动点理论有效结合起来,研究了一维湿气迁移方程的初边值问题古典解的存在唯一性;文献[4-6]分别研究了问题(1)有限差分法和谱方法;文献[7]将质量集中法与Crouzeix-Raviart型非协调线性三角形元相结合,得到了与普通有限元方法相同的u的H1模的最优误差估计;文献[8]将非协调三角形Carey元应用于非线性Sobolev-Galpern型湿气迁移方程的有限元逼近格式,利用单元特性和误差估计技巧,得到了能量模的最优误差估计及相应的L2模的收敛结果.对此方程的非协调混合有限元方法,目前还未见详细报道.

众所周知,混合有限元方法具有对空间要求光滑度较低,并能同时得到原始变量和中间变量的误差估计等优势.最早的混合元格式是由文献[9]提出的,随后文献[10]对此格式进行了修正,使总体自由度有所减少，且保证与文献[8]有相同收敛阶，然而文献[9-10]的论证较为复杂.为了克服以上困难,文献[11-12]针对二阶椭圆问题提出了另一种混合元格式,且进行了收敛性分析,这种格式较之传统混合元,具有诸如它的空间对匹配更容易满足离散的LBB条件、自由度少,且可以避免对矢量有限元空间的试探函数进行散度运算等优点.目前,这种格式已经被广泛应用于二阶椭圆[13]、抛物方程[14]和Sobolev方程[14-15]等问题的高精度分析.近年来,文献[16-17]在矩形网格下研究了其混合有限元方法格式,得到了相关变量的超逼近和超收敛结果及高精度的外推解.然而,上述分析都是在矩形网格剖分下,针对协调有限元进行的分析.

本文的主要目的是利用非协调的线性三角形元及P0×P0元,对方程(1)构造了一个新的混合元格式.和传统的混合元比较,它具有较少的自由度以及LBB条件自动满足等优点.直接利用单元的性质,得到了原始变量u的H1模意义下和中间变量p=-(a(u)▽ut+b(u)▽u)的L2模意义下的最优误差估计.

2 新混合元格式

定义混合有限元空间为

Vh={vh;vh|K∈P1(K),

wh|K∈P0(K)P0(K),∀K∈Γh},

(2)

引入u的向量函数P=-(a(u)▽ut+b(u)▽u),则方程(1)可表示为

c(t)ut+e(t)▽·u+▽·p=-f(u),

(x,t)∈Ω×(0,T],

p=-(a(u)▽ut+b(u)▽u),

(x,t)∈Ω×(0,T],

u(x,t)=0, (x,t)∈∂Ω×(0,T],

u(x,0)=u0(x), (x,t)∈Ω.

(3)

相应的(3)式对应的弱形式为:求{u,p}:(0,T]→H01(Ω)×(L2(Ω))2,使得

相对应的有限元逼近为:求{uh,ph}:(0,T]→Vh×Wh,使得

定理 2.1问题(5)的解存在且唯一.

一方面,注意到▽Vh⊂Wh,在(5)式(a)中取vh=φj,同时在(5)式(b)中取ωh=▽φj,可得

(6)

其中

A=((c(t)φi,φj))N1×N1,

B=((▽φi,Ψj))N1×N2,

E=((e(t)▽·φi,φj))N1×N1,

F=(f1,f2,…,fN1)′,

H(t)=(h1(t),h2(t),…,hN1(t))′,

G(t)=(g1(t),g2(t)…,gN2(t))′,

将(6)式(a)和(6)式(b)两式相加,再由(6)式(c),得初值问题

(7)

由假设(H1)知,矩阵A、C是对称正定矩阵,从而A+C可逆,由假设(H2)可知,F是Lipschitz连续的,根据文献[18]知,初值问题(7)的解存在且唯一.另一方面,在(5)式(b)中取wh=Ψj,得

其中

K=-((ψi,ψj))N2×N2.

由于K是可逆的,则有

(8)

将(7)式的唯一解H(t)代入到(8)式,可知G(t)存在且唯一.证毕.

3 误差分析

为了给出相应的最优误差估计,首先引入下面引理.

引理 3.1[19]对P∈(H1(Ω))2,v∈Vh,则有

(9)

这里,n=(nx,ny)为∂K的单位外法线方向,C代表与h无关的常数.

定理 3.1设u和uh分别是(1)和(5)式的解,当u∈H01(Ω)∩W2,∞(Ω),ut∈H2(Ω)∩W1,∞(Ω),p∈H1(Ω)时,有

‖u-uh‖1,h≤Ch{‖u‖2+

(10)

‖p-ph‖0≤Ch{‖u‖2+‖ut‖2+|p|1+

(11)

注意到(▽vh,ρ)=0,(ρ,wh)=0,上面误差方程可写成

一方面,在(12)式(a)中取vh=ξt,在(12)式(b)中取wh=▽ξt,然后两式相加得

(c1ξt,ξt)+(a(uh)▽ξt,▽ξt)=

-(e(t)▽·ξ,ξt)-(e(t)▽·η,ξt)-

(c(t)ηt,ξt)-(b(uh)▽ξ,▽ξt)-

(b(uh)▽η,▽ξt)+((c1-c(t))ξt,ξt)-

((b(u)-b(uh))▽u,▽ξt)-((a(uh)-

a(u))▽ut,▽ξt)+((f(uh)-f(u)),ξt)+

(13)

下面依次估计Ai,i=1,2,…,10.

注意到,∀ξ∈H1(Ω),因此由Schwarz不等式得

|A1|+|A2|≤

C(‖▽·ξ‖0+‖▽·η‖0)‖ξt‖0≤

C(‖ξ‖1,h+‖η‖1,h)‖ξt‖0.

利用假设(H1),则有

|A3|+|A6|≤C(‖ξt‖0+‖ηt‖0)‖ξt‖0,

|A4|+|A5|≤C(‖ξ‖1,h+‖η‖1,h)‖ξt‖1,h.

根据a(u)、b(u)及f(u)满足假设(H2),可得

|A7|≤C‖u-uh‖0‖u‖L∞(H1)‖ξt‖1,h≤

C(‖η‖0+‖ξ‖0)‖ξ‖1,h,

|A8|≤C‖u-uh‖0‖ut‖L∞(H1)‖ξt‖1,h≤

C(‖η‖0+‖ξ‖0)‖ξ‖1,h,

|A9|≤C‖u-uh‖0‖ξt‖0≤

C(‖η‖0+‖ξ‖0)‖ξt‖0.

根据引理3.1得

|A10|≤Ch‖p‖1‖ξt‖1,h.

将上述对Ai,i=1,2,…,10的估计代入到(13)式,根据文献[16]知,∀vh∈Vh,‖vh‖0≤C‖vh‖1,h,则有

(14)

‖ξt‖1,h≤Ch(‖ut‖1+‖u‖2+|p|1).(15)

|p|1)2ds]1/2.

(16)

在(12)式(b)中,取w=θ,可得

(b(uh)▽ξ,θ)-(a(uh)▽ηt,θ)-

(b(uh)▽η,θ)-(ρ,θ)-((a(u)-

a(uh))▽ut,θ)-

(17)

根据假设(H1),采用类似于A4、A5的估计方法,则有

‖η‖1,h+‖ηt‖1,h)‖θ‖0.

(18)

由单元插值的定义,可得

G5=0.

(19)

由假设(H2),类似于A7、A8的估计,可得

|G6|+|G7|≤C‖u-uh‖0‖θ‖0≤

C(‖ξ‖0+‖η‖0)‖θ‖0.

(20)

将(15)、(16)式以及(18)～(20)式代入到(17)式,可得

‖θ‖0≤Ch{‖u‖2+‖ut‖2+|p|1+

由(16)和(21)式及三角不等式得

‖u-uh‖1,h≤Ch{‖u‖2+

‖p-ph‖0≤Ch{‖u‖2+‖ut‖2+|p|1+

证毕.

致谢平顶山学院青年科研基金(PXY-QNJJ-2019009)对本文给予了资助，谨致谢意.