带有源项的Chaplygin气体非对称Keyfitz-Kranzer方程组含狄拉克初值的广义黎曼问题∗

宋赟，郭俐辉

(新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046)

0 引言

带有源项的Chaplygin气体非对称Keyfitz-Kranzer方程组具有以下形式

其中β是常数，ρ(x,t),u(x,t)分别表示密度和速度，压力P满足

当β=0时,方程组(1)属于非对称Keyfitz-Kranzer方程[1]

其中φ(ρ,u)=f(u)−P(ρ).方程组(1)是由Aw和Rascle[2]提出的关于交通流的宏观模型,其中压力P是光滑的、严格递增函数且满足

关于Aw-Rascle模型的更多结果,读者可参看[3-5].Lu[6]对方程组(1)作如下假设

称为带有源项的Chaplygin气体非对称Keyfitz-Kranzer方程组含狄拉克初值的广义黎曼问题,其中ω0>0,ρ±>0,u±,u0是常数.关于狄拉克初值的广义黎曼问题,读者可参看[11-14].Li[15]利用速度变换

得到了方程组(1)–(2)的黎曼解,其中速度变换(5)是由Faccanoni和Mangeney[16]提出的.

本文主要研究了初值问题(1)–(2)和(4)的解.方程组(1)–(2)的所有特征都是线性退化的,故其基本波为接触间断.当时,其黎曼解中会出现狄拉克激波.在一些宇宙学理论中,狄拉克激波的形成表明了宇宙在不同时期的进化.关于狄拉克激波的研究,请参看[17-24].

1 预备知识

在本节中,我们简单陈述方程组(1)–(2)的黎曼问题,关于此问题的详细理论读者请参看[15].

运用速度变换(5),方程组(1)–(2)可以转化为守恒律形式

由[15]可知，相平面可分为五个区域(见图1).

图1 (ρ,v)-平面Fig 1 Phase Plane

当右状态 (v+,ρ+)∈(I∪II∪III∪IV)时,解由接触间断J1和J2组成,且

中间状态 (v∗,ρ∗) 满足

w(t)和uδ(t)=vδ+βt分别表示狄拉克激波的权和速度,且狄拉克激波满足下面的广义Rankine-Hugoniot条件

由(11)式,可得:

当 ρ+6=ρ−时,

当 ρ+=ρ−时,

且狄拉克激波满足如下形式的广义熵条件

此外,广义Rankine-Hugoniot条件(11)式也等价于广义Rankine-Hugoniot条件

2 带有狄拉克初值的黎曼问题

情形1

图2 情形1:v+++

且狄拉克激波解(16)满足如下广义Rankine-Hugoniot条件

其中[ρ]=ρ+−ρ−.

接下来,通过求解常微分方程(17)式,我们可得到狄拉克激波的位置、权和速度.

对(17)式两边从0到t积分,可得

由(18)式得

从而(19)式可化为

(22)式等价于

对(23)式在[0,t]上积分,可得

当ρ+6=ρ−时,我们有

由(18)式和(24)式,可得

其中

由v++ω0>0.联立(18)式和(21)式,我们可以推出

当ρ+=ρ−时,(24)式是关于变量x的一个线性函数,因此

从(18)式,可得

由(30)式和(21)式,可得

注1(渐近性) 当 ρ+6=ρ−时,由(25)–(28)式,我们有

和

(32)–(34)式与初值问题(1)–(2)的黎曼解中狄拉克激波的权、位置和速度相同.类似,当ρ+=ρ−时,可得到相同的结果.这表明在初值(4)下构造的黎曼解是稳定的.

注2当v0=0,ω0=0,初值问题(1)–(2)和(4)的黎曼解与方程组(1)–(2)的黎曼解相同.

情形2v−≤v0≤v++.

根据 v0,v−,v++的大小关系,又可以分四种子情形进行讨论.

情形2.1v−

当t充分小时,初值问题(1)–(2)和(4)的解可构造为(见图3)

图3 情形2.1:v−

其中

狄拉克激波满足广义Rankine-Hugoniot条件(17),其中[ρ]=ρ2−ρ1.当把(25)–(28)式中的−,+分别换成1,2时,我们可得狄拉克激波的速度、位置和权分别为

当ω(t)=ω0−t=0时,有t1:=t=ω0,这表明δ-激波在t1时刻消失(见图3).

当t>t1时,我们可构造如下形式的解(见图3)

其中

接触间断J1,J2的传播速度分别为

情形2.2v−=v0

我们构造初值问题(1)–(2)和(4)的解为(见图4)

图4 情形2.2:v−=v0

图5 情形2.3:v−

其中u2,ρ2由(35)式给出,接触间断J2的传播速度由(39)式给出.狄拉克接触间断的速度、位置和权分别为

我们可验证狄拉克接触间断满足广义Rankine-Hugoniot条件(17).

情形2.3v−

与情形2.2类似,初值问题(1)–(2)和(4)的解可构造为(见图5)

狄拉克接触间断的位置、权和速度分别为

情形2.4v−=v0=v++.

初值问题(1)–(2)和(4)的解为

其中狄拉克激波的权、速度和位置分别为

易验证(42)式满足广义Rankine-Hugoniot条件(11).此外,狄拉克激波满足熵条件

注3当v0=0,ω0=0时,则初值问题(1)–(2)和(4)的黎曼解与方程组(1)–(2)的黎曼解相同.

情形3v0

我们寻找初值问题(1)–(2)和(4)的具有如下形式的分片光滑解(见图6)

图6 情形3:v0

狄拉克激波满足广义Rankine-Hugoniot条件

其中 [ρ]=ρ∗−ρ−.

由式(45)和(46)2,可得

联立(45)式及(46)3,我们有

根据(47)–(48)式,我们得到与[13]一致的等式

其中 A=ω0(ρ−v−+1−ρ−v0),并且

令

可得

从而由(49)式和(51)式,得到狄拉克激波的权为

进而,有

这表明δ–激波永远不会穿过J2.

当v−

情形4v0

在这种情形下,由(55)式,可知存在唯一的t∗,使得uδ(t∗)=v+++βt(见图7).因此,当 0≤t≤t∗时,初值问题(1)–(2)和(4)的解与情形3相同

图7 情形4:v0

其中,当0

当 t>t∗时,假设 t=t∗∗时,δS1将全部穿透 J2.当 t∗

其中 [ρ]=ρ∗(t1)−ρ−.

当t>t∗∗时,解的表达式与情形1类似.可以构造如下形式的解(见图7)

这里,t∗∗由决定.其中,位置、权和速度满足广义Rankine-Hugoniot条件 (17)和初始条件

下面,我们给出主要结果.

定理1初值问题(1)–(2)和(4)的解有如下情形:

(1)当v++

(2)当v−≤v0≤v++时,(1)–(2)和(4)的解中包含接触间断,狄拉克激波和狄拉克接触间断.

(3)当v0