基于模糊函数的线性调频雷达信号分辨率估计算法

蔡阳超 杨 君 马 宏

(航天工程大学 北京 101416)

0 引言

雷达系统的战术参数，是指雷达系统完成所承担任务应具备的功能和性能指标[1]，其主要内容如图1所示。其中目标分辨率，作为雷达系统的核心战术参数之一，十分重要。而目前国内外专家学者针对非协作辐射源雷达信号的分析，侧重于雷达脉内调制方式的识别与参数的估计[2-5]。实际工程应用中，对线性调频雷达信号的分辨率参数估计，也依赖于对信号带宽的估计。

图1 雷达系统的主要战术参数

而本文结合模糊函数的定义理论推导，通过对LFM雷达信号数据，构造不同时延差、多普勒频差，完成对该信号的分辨率估计。文章首先对该分析方法原理及实现过程进行了详细的推导与阐述。然后利用MATLAB进行了仿真验证，并对实验步骤和结果进行了分析，为下一步研究指明了方向。

1 理论及推导分析

1.1 模糊函数的原理

模糊函数最早由维莱(J.Ville)于1948年提出。现已成为雷达信号理论中一个重要的概念，是研究和设计雷达信号波形的有效数学工具[6]。设两个距离不同、径向速度不同的目标a和b。显然，两个目标在距离上相差越远(τ越大)，同时径向速度差距越大(ξ越大)，越好分辨。这两个目标回波信号复包络的均方差表示为：

(1)

其中：

(2)

(3)

函数χ(τ,ξ)即被定义为雷达信号的模糊函数，它表示两个目标回波信号的时间-频率复合自相关函数，它决定信号的分辨率。

针对距离分辨率，通常采用3dB波瓣宽度定义信号的固有分辨率。为了全面考虑主瓣和旁瓣对分辨性能的影响，又定义了时延分辨常数Aτ。由傅里叶变换及巴塞瓦尔定理，其式子可写成式(4)：

(4)

βδ称为有效相关带宽。对于线性调频信号，当Btp≫1时，βδ≈B[7]。

1.2 线性调频矩形脉冲信号的频谱函数

对线性调频矩形脉冲信号μ(t)公式(5)进行傅里叶变换，即可得到式(6)。其中A为幅度，τ为时宽，调频带宽为B，K=B/τ表示调频斜率。

μ(t)=A·rect(t/τ)ej(2πf0t+πKt2)

(5)

(6)

式(6)中：

(7)

(8)

c(υ)、s(υ)称为菲涅尔积分，D=Bτ表示时宽带宽积，也叫脉冲压缩比。

(9)

(10)

当压缩比D值不同时，幅度频谱的特性将随之变化。图2示出了D=50，D=75，D=100，D=500时的幅频特性。由图可以看出，D值越大，幅频特性越接近矩形，因此带宽分辨率估计算法βδ≈B的误差也就越小。

1.3 算法实现过程

针对带宽分辨率估计算法的较大误差，本文提出一种基于模糊函数定义的分辨率估计算法。由模糊函数的定义，我们推导出式(1)，sr1(t)为侦察接收得到的实测离散信号数据；通过对sr1(t)构造不同时延差、多普勒频差，可以得到一组实验数据sr2(t)；f表示信号的载波频率；E表示实信号的能量。经以上推导，可以得出式(11)：

(11)

对式(11)等号左边进行反取实部处理，再去掉载波频率e-j2πfτ项，理论上我们即可得到该信号的模糊函数χ(τ,ξ)。通过拟合即可在时间轴、频率轴上分别得出距离、速度分辨率。整个过程见式(12)，实现步骤如图3表示：

(12)

为了使数据处理过程简单清晰，本文采用了分步实现的方法,如图4所示。将图3过程分成两步实现，即分别通过构造时延差，得出距离模糊分辨率；构造频移差，得到速度分辨率。

图2 D值不同时，线性调频矩形脉冲信号的幅频特性

图3 模糊函数实现步骤

图4 模糊函数分步实现步骤

2 算法验证及分析

我们取线性调频矩形脉冲信号数据，对其的处理过程包括：sr2(t)的构造、数据能量估计、反取实部处理、频率估计、图形拟合等。

2.1 关键步骤实现方法

2.1.1sr2(t)的构造

我们对以奈奎斯特采样率得到的雷达信号sr1(t)数据，按最小间隔进行时域移位。如式(13)所示：

(13)

延时步长为ΔnτTc

在构造频移步进时，可以先对sr1(t)进行傅里叶变换，变换到频移后，再取最小频移间隔，移位后再进行逆变换，即可得到频移后的构造信号sr2(t)。如公式(14)所示。

(14)

2.1.2 反取实部处理

在完成sr2(t)的构造，信号能量的估计，我们即得到了式(11)等号左边的数据结果。简言之，这是一个我们已经得到了实部，需要反求复数([e-j2πfτχ(τ,ξ)])的过程。理论上，其结果是无数种情况。但我们针对线性调频矩形脉冲信号的模糊函数表达式(15)中可以发现，其实部与虚部存在正交性关系。

(15)

而我们已经知道复指数函数与正弦、余弦的关系表达式为：

(16)

因此我们可以通过对式(11)等号左边，取希尔伯特变换，采取构造解析信号的方法，即可得到[e-j2πfτχ(τ,ξ)]。

2.2 仿真验证

本文通过MATLAB，在不考虑噪声的条件下，进行了两组仿真实验。一组为可行性验证实验。其参数设置为：线性调频矩形脉冲信号时宽为10μs，带宽为100MHz，载波频率为1000MHz，且进行3GHz直接采样。另一组为误差分析实验。即分别取不同时宽带宽积(D)，比较该算法与带宽估计算法的估计结果。在第一组实验中，我们得到拟合实验结果如图5所示。

图5 线性调频矩形脉冲信号拟合结果

其拟合波形虽存在一定误差，但与理论函数波形吻合程度高，实验结果验证了该算法的可行性。在此基础之上，进行了第二组实验，即分别取了D=50，D=75，D=100，D=500，D=1000情况下，本文算法的距离模糊估计值，与传统带宽估计值进行了比较。如表1所示，本文提出的算法，有更高的距离分辨率估计精度。同时发现，随着D的取值逐渐增大时，带宽估计方法的误差也逐渐减小，这符合理论分析结果。

表1 不同压缩比(D)下的距离分辨率时长(s)

估计方法D=20D=50D=100D=500D=1000理论值1.15×10-74.5×10-82.25×10-87.5e×10-92.33×10-9本文方法2×10-78.75×10-84.25×10-84.58×10-94.66×10-9带宽估计5×10-72×10-71×10-72×10-81×10-8

2.3 实验分析

本文通过两组实验仿真，验证了该算法的可行性，及更高估计精度的优异性。但在仿真过程中也发现了一些不足之处：其一，更高的估计精度，也伴随着更大的计算量；其二，该算法的计算精度，与信号的能量估计、载频估计、时延频移间隔的构造，均有较大关系，尤其针对工程中的带通采样频率信号数据，如果以采样间隔来构造时延步进，会带来较大计算误差，为提高精度，会用到插值理论方法；其三，本文未考虑噪声因素的影响，对单回波信号数据的处理，噪声也存在相干的性质。以上几点不足均是下一步研究的方向与重点。

3 结束语

本文提出了一种分辨率参数估计算法，该算法针对线性调频雷达信号有着更高估计精度优异性。且此方法完全由公式推导，理论上不受信号波形样式的限制，可反映雷达信号经空间传播多种因素影响后的真实分辨能力。对线性调频矩形脉冲信号的仿真结果，验证了该方法的有效性和准确性。