正定Hermite矩阵迹的不等式的几点注记

宋 园

（滁州职业技术学院基础部，安徽滁州239000）

矩阵迹的运算在数值计算、量子信息、经济计量学以及控制论、逼近论等理论中有着广泛的应用，近年来国内外有许多作者对此类问题作了大量深入细致的研究，文献[1]给出了几个结果，然而定理1的证明过程存在几处错误，现给予修正，同时还给出关于Hermite矩阵迹的不等式证明中一些容易忽视问题的几点注记。下面先介绍文献[1]中的定理1。

定理1[1]设p1,p2,…,pn是给定的正数，A1,A2,…,An是同阶正定Hermite矩阵且，则

仔细分析原文的证明，作者用了如下两个等式：

下面结合具体例子说明上述证明过程中的错误，首先通过一个例子说明(2)式是不成立的。

同样，文献[1]中的定理2也存在同样问题，不赘述。

这里给出等号成立的条件trA=trB也是不成立的。反例如下：

因此（4）式等号成立的条件不成立，应该改为A=B。

通过文献[1]可以看出，在矩阵迹的不等式证明中存在着若干个问题，下面给出几点相关注记。

注2 对于n个Hermite正定矩阵A1,A2,…,An幂的乘积的迹，当n≥3不等式中“的书写是不正确的，因为此时不能保证为实数，所以不能在不等式中作比较，应该写为