最速降线问题的充分性

邢家省， 杨义川， 王拥军

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院， 北京 100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室, 北京 100191)

引 言

最速降线问题[1-6]是科学发现史上著名的问题，引起了人们持续不断的研究兴趣，开创了多个研究课题。该问题转化为求一个泛函的最小值问题，这个泛函在最小值处的必要条件已经得到，泛函的临界点的存在性已经解决了。泛函的临界点是否为最小值点是需要证明的[1-6]，文献[2-4]在引入极值场和Hilbert不变积分的方法，对一般泛函的临界点是泛函最小值的充分条件进行了研究，给出了最速降线问题的充分性证明，但这种证明方法不直接不自然。本文在综合利用文献[7-20]中思想方法的基础上，对泛函的临界点是泛函的最小值给出了直接简单的证明方法，对泛函的临界点的唯一性给出了证明，对最速降线必是在竖直平面内也给出了证明。

1 质点沿光滑轨道下滑所需的时间公式

著名的最速降线问题[1-6]表述如下：在一铅直平面上，给定不在同一铅直直线上两点A,B。在重力作用下，一质点沿着过A,B两点的光滑轨道L下滑。下滑的轨道L不同，质点由A点下滑到B点所需的滑动时间T也就不同。问当L是什么曲线时，所需的滑动时间T最短。

建立xOy坐标标系，Ox轴正向水平向右，Oy轴正向竖直向上。

设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)，x1

设曲线L经过A点和B点，曲线L的方程为y=y(x)，或者曲线L的方程为x=x(y) 。

设有一质点沿某曲线L由点A无摩擦地滑动到点B，考察所需的滑动时间T。

假设在时刻t质点已滑动了路程s，到达的位置为(x(t),y(t))，

由动能势能守恒原理，可得

(1)

当曲线L的方程为y=y(x)时，

得

质点沿曲线L由点A无摩擦地滑动到点B，所需的时间[1-4]是

(2)

当曲线L的方程为x=x(y)时，

得

质点沿曲线L由点A无摩擦地滑动到点B，所需的时间[1-4]是

(3)

设曲线L的最低点在Ox轴上，质点在曲线L上高度为h的点处静止开始下滑到最低点处所需时间[1-4]为

(4)

式(4)导致出现积分方程的问题[4]和等时曲线的求解问题[20]。

2 最速降线问题的泛函表示

考虑泛函

(5)

设函数集合

M={x(y)∈C1[y2,y1],x(y2)=x2,x(y1)=x1}

显然T(x)就是定义在M上的一个泛函。

于是，最速降线问题就是要在集合M上求出一个函数x=x(y)，

使得泛函T(u)在处x=x(y)取得最小值，

在文献[1-4]中，研究由(2)式表示的泛函的最小值问题，引入变分方法，寻找到泛函的临界点。

3 泛函在某函数处达到最小值的必要条件

记M0={x(y)∈C1[y2,y1],x(y2)=0,x(y1)=0}，若泛函T(u)在x=x(y)处取得最小值，则对任意v∈M0，都有T(x+εv)在ε=0处达到最小值，于是

记

则

故有

(6)

进而得到

(7)

式(6)就是泛函T(u)在x处取得最小值的必要条件，也就是泛函的临界点满足的方程。显然(6)式与(7)式是等价的。

下面证明泛函的临界点的存在性。

对

有

代入式(7)，得到

(8)

现对此常微分方程进行求解。

(8)式可化为如下的形式

(9)

对(9)式两边积分，则有

令

令u=csinθ，

y=y1-c2sin2θ=

令t=2θ，则有

则得到泛函的临界曲线的参数方程为

其中常数k,c1可由边界条件来确定。

显然最速降线为摆线的一部分[1-6]。泛函临界点的存在性得证。这只是泛函取得最小值的必要条件。

以上给出了微分方程(8)的直接自然的求解过程，在文献[1-4]中给出的是选取参数方程的代入方法，这种参数方程的选取方法不太自然。

4 泛函的临界点为最小值点的充分性的直接证明

对x+εv∈M，有

由于

由此可知，T(u)在M上的最小值在x∈M处达到。

这里，我们用直接的简单方法，给出了充分性的证明。

关于泛函的临界点是否为泛函的最小值点的问题，在文献[2，3，4]中进行了一般性的研究，得到了一些充分性的结果。

5 泛函的临界点方程解的唯一性证明

设x1，x2∈M是问题(6)的两个解，

于是

注意到

其中

从而有

特别取v=x2(y)-x1(y)，则有

于是x2(y)-x1(y)=0，x2(y)=x1(y)

即得问题(6)的解是唯一的。

泛函的临界点是唯一的，最速降线问题的解是唯一的。

在文献[4，7，20]中，对积分方程(4)进行了求解，对等时曲线是摆线给出了求解证明。

6 最速降线一定是在竖直平面内

建立空间直角坐标系Oxyz，水平面为xOy，Oz轴正向竖直向上。

设A点坐标为(x1,y1,z1)，B点坐标为(x2,y2,z2)，z2

设曲线L经过A点和B点，曲线L的方程为x=x(z),y=y(z),z=z。

设有一质点在重力作用下沿某曲线L由点A无摩擦地滑动到点B，考察所需的滑动时间T。

质点沿曲线L由点A无摩擦地滑动到点B，所需的时间[1-4]是

(10)

最速降线问题转化为考虑泛函(10)式的最小值问题，由极值的必要条件，极值曲线满足

其中C1，C2为常数。

C2x′(z)=C1y′(z)

对此积分，则得

C2x(z)=C1y(z)+C3

其中C3为常数。

这就得出，极值曲线必在竖直平面内，极值曲线是平面曲线。

由此证明了，最速降线必是平面曲线[10]，最速降线一定在竖直平面内。