小考题 大文章——对一道高考试题的深度思考

骆秀金

(湖南省怀化市第三中学 418000)

高考试题情境新颖，构思精巧，设问别致，这其中包含了命题者的大量心血与智慧.但命题者的研究设计的路径却隐藏于题外，若解后不反思，则很难捕捉高考命题的基本走向，不易发掘试题考查的深度与广度．认真研读2017年浙江高考试题，好题很多．其中笔者尤感兴趣的是填空题第15题，结合自己的教学实践与体会，以此题为例，谈谈高考数学复习中，对高考试题研究的几个思考角度．

一、考题呈现，思立意

(2017年高考数学浙江卷第15题)设向量a,b满足|a|=1,|b|=2.则|a+b|+|a-b|的最小值是____,最大值是____.

命题立意:本题以平面向量在三角形与平行四边形中的应用为载体，考查平面向量的内容，包括平面向量的坐标运算，数量积及其几何意义，三角不等式及基本不等式等基础知识.

本题考查学生上述基础知识的综合运用能力，以及对试题提供的信息进行转化、重组的能力;也体现了向量在三角形、平行四边形中的几何应用，向量的代数形式运算与几何形式运算的相互转化的重要性，以及化归与转化、数形结合等思想方法.

二、分析思路，思解法

高考试题的显著特点是入口宽，解法多，深入难，能区分不同知识水平考生的思维层次．在高三数学复习教学中，要真正发挥高考试题的基础性、典型性和示范性，需从不同角度对问题进行探究分析，以期获得不同解法的启迪．

解法一考题涉及到两个向量的模之和，很自然联想到向量模的运算性质，即向量三角不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

从而有|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=|2b|=4.

当且仅当a+b与a-b反向时取”=”号．即a与b共线时取”=”号．所以|a+b|+|a-b|的最小值是4.

解法二运用平行四边形对角线性质，向量数量积性质及基本不等式求解．

(|a+b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b||a-b|=2(|a|2+|b|2)+2|a+b||a-b|=10+2|a+b||a-b|.一方面，由向量数量积性质得|a+b||a-b|≥|(a+b)·(a-b)|=|a2-b2|=3，当且仅当(a+b)∥(a-b)时取”=”号；

即16≤(|a+b|+|a-b|)2≤20.

解法三采用坐标运算．不妨假设a与x轴平行，不影响解题．

设a=(1,0),b=(2cosα,2sinα),α∈[0,2π].

解法四设a=(1,0),b=(2cosα,2sinα),α∈[0,2π].由解法三得

求最小值同解法三．可用柯西不等式求最大值．

∵(|a+b|+|a-b|)2

三、回归教材，思源头

人教版《数学》(必修4)教材第82页：

探究:a,b处于什么位置时,(1)|a+b|=|a|+|b|.(2)|a+b|=|a|-|b|.

分析(1)当a与b同向时|a+b|=|a|+|b|. (2)当a与b反向，且|a|>|b|时，|a+b|=|a|-|b|.综合(1)(2)得到下列不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.这为解法一提供了依据．

人教版《数学》(必修4)教材第109页：

①

②

这一结论为解法二提供了依据．

四、研究试题，思变式

变式就是把试题进行重组、嫁接、引申、拓展．G.波利亚说过:“好问题同种蘑菇类似,它们都成堆生长,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个.”一般来说,高考试题是金典问题,很有代表性.我们有必要认真研究,充分发掘它的应用价值,对它进行变式、引申、拓展．

变式1:设向量a,b满足|a|=1,|b|=2.求|a+b|-|a-b|的最大值与|a+b||a-b|的最小值.

设计意图:原高考题考查的是以向量a,b为邻边作平行四边形,求两对角线长的和的最值问题,我们会自然想到,如何求这两对角线长的差与积的最值呢?因此可设计此题.

变式2:设向量a,b满足|a|=1,|b|=2.且a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,求|c|的最大值与最小值.

设计意图:原高考题已知条件中两向量的模为定值,但两向量的夹角是变化的,我们可以考虑两向量垂直这一特殊情况,引入向量c满足条件|c-a-b|=1.可设a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y).运用图形法求解.此变式与2013年湖南高考理科数学试题第6题很相似.

变式3:设向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ).当|a+b|取最大值时求cos2(α-β)的值.

设计意图:把原高考题的已知条件坐标化，并用三角函数的形式呈现，这样不仅考查向量的模的计算，又考查三角恒等变换等知识.

五、总结反思，思导向

这几年浙江省向量考题都编制得十分精致，非常漂亮，其一是它的解题方法很多，很好地考查了不同层次的学生对知识的掌握程度;其二是向量本身具有双重性，兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，因此，在解决向量问题时，一方面，我们可以根据向量的有关公式、运算律解决;另一方面,也可以结合向量的几何意义画图解决.

一道好题并不在于它的深奥，而在于它的导向和示范作用，好的高考试题往往不一定都是新题，它往往就来源于教材，既能引导师生重视教材作用和对基本知识的学习，又能让师生意识到仅仅靠题海战术和死记硬背是无法在高考中取得高分.”新高考”模式下的数学试题更加注重问题的本质和思维的创新,不能靠机械性、模式化的应试训练来解决，而是要具备扎实的基本功和必要的数学素养，才能使解题更有深度、厚度和广度.