一道三角形最值问题的解法探究

曹越程

(河北省唐山市海港高级中学 063611)

一、例题

下面是石家庄二中高考模拟题的改编题.

题目已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=2，

求△ABC面积的最大值.

分析该题目条件干净利落，内容丰富深刻，解题切入灵活，希望大家有所收获.

二、多种解法

1.构造函数法

通过引进变量，可以选取长度也可以是角度，构造目标函数求得最值.

(2)从腰长切入.设AD=t，则AB=2t,BD=2,△ABD中由余弦定理得：

(4)从顶角切入.设∠BAC=2θ，AB=AC=x,由余弦定理得：

2.平面几何法

通过利用三角形重心的性质，借助正弦定理面积公式求解.

3.解析几何法

建立平面直角坐标系，通过坐标的代数运算求解.

4.极坐标法

极坐标是通过长度和角度来确定点的位置，必要时可考虑在极坐标下解题.

如图：以BD所在射线为极轴建立极坐标系，设A(ρ,θ)，D(2,0)，