向量解题策略之“无中生有”

雷亚庆

(江苏省南京市大厂高级中学 210044)

一、无中生“三角形”

例1(2010浙江理数)已知平面向量a，b(a≠0,a≠b)满足|b|=1，且a与b-a的夹角为120°，则|a|的取值范围是____.

问题转化为：△OAB中，已知OB=1，∠OAB=60°，求边OA长的取值范围.

图1

设∠OBA=θ(0°<θ<120°),

因为0°<θ<120°,所以0

反思根据向量减法的几何意义将题设条件表示在三角形中，利用解三角形即可迎刃而解.

二、无中生“圆”

例2(2013年高考湖南卷(理))已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( ).

图2

解析如图2,将a,b移至同起点O，因为a·b=0，所以有a⊥b.以O为起点，以表示a,b的两条有向线段所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.

∵a,b是单位向量,∴a=(1,0),b=(0,1).

设c=(x,y)则c-a-b=(x-1,y-1).

由|c-a-b|=1可得：(x-1)2+(y-1)2=1.

即答案为A.

反思本题首先利用坐标法将向量问题转化为代数问题，再利用几何意义转化为求圆上一点到原点的距离的最大最小问题，从而使问题顺利解决.

三、无中生“平行四边形”

图3

四、无中生“中线”

(x1-1)(x2-1)+y1y2=3③.

①+②+③×2得：(x1+x2)2-2(x1+x2)+(y1+y2)2+2=19,