我出高考数学题(二十五)

陈国林 胡迷革 袁琳

1.已知cos（ -α）-sin α= ，则cos（α- ）的值为

A.-              B.              C.-           D.

解 由cos（ -α）-sin α= cos α + sin α-sin α=- sin α+ cos α=-sin（α- ）= ，可得sin（α- ）=- .所以cos（α- ）=cos（α- - ）=sin（α- ）=- .选C.

2.已知f（x）是定义在（- ， ）上的奇函数，f ′（x）是f（x）的导函数.若对任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，则当0

A.（- ， ）                       B.（- ，- ）∪（ ， ）

C.（- ，0）∪（0， ）  D.（- ，- ）∪（ ， ）

解 根据已知可令g（x）= f（x）tan x，则g′（x）= .由于对任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，所以当x∈（0， ）时，g′（x）>0，则函数g（x）在（0， ）上单调递增.又f（x）在（- ， ）上为奇函数，所以g（-x）= f（-x）tan（-x）= f（x）tan x=g（x），则g（x）在（- ， ）上为偶函数.由于0

3.已知函数f（x）=（x-1）ex+1+ax2，a∈R.

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性.

（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1 f（-x2）.

（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为R， f ′（x）=xex+1+2ax=x（ex+1+2a）.

若a≥0，则ex+1+2a>0.于是有当x∈（-∞，0）时， f ′（x）<0恒成立;当x∈（0，+∞）时，f ′（x）>0恒成立.所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

若a<0，令x（ex+1+2a）=0，可得xm=0，xn=-1+ln（-2a）.

若- xn.当x∈（-∞，xn）∪（xm，+∞）时， f ′（x）>0恒成立;当x∈（xn，xm）时，f ′（x）<0恒成立.所以f（x）在（-∞，xn）和（xm，+∞）上單调递增，在（xn，xm）上单调递减.

若a=- ，则xm =xn.当x∈R时， f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上是增函数.

若a<- ，则xm 0恒成立;当x∈（xm，xn）时，f ′（x）<0恒成立.所以f（x）在（-∞，xm）和（xn，+∞）上单调递增，在（xm，xn）上单调递减.

综上可知，当a≥0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增;当-

（Ⅱ）证明：当a≤0时，由（Ⅰ）可知，若x≤0，则f（x）≤{f（0），f [-1+ln（-2a）]}max.由于f（0）=-e<0，当a<- 时f（0）> f [-1+ln（-2a）]，当- 0.

当a>0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，从而x1<00，所以F′（x）>0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，从而F（x）在（0，+∞）上递增，则F（x）>F（0）=0，即f（x）> f（-x）.由于x1<0 f（-x2），即 f（x1）> f（-x2）.

（陈国林，中国优选法统筹法与经济数学研究会会员，“课堂内外杯”青少年科学素养大赛命题专家库成员，中学数学建模竞赛命题人，获得国家级、省级奖励10余项）

4.直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若|BF|=2|AF|，则|AF|=______.

解 设l为抛物线的准线，其与x轴交于点K.作AA′⊥l，交l于点A′;作BB′⊥l，交l于点B′，如右图所示.于是有|AA′|=|AF|， |BB′|=|FB|，AA′∥BB′∥FK.在△CBB′中，由 = = ， |BC|=|AC|+|AA′|+|BB′|，可得|AC|=3|AF|.于是在△CFK中，由 = = ，可得|AF|=|AA′|= |FK|= .

5.已知F（c，0）是双曲线C： - =1（a>0，b>0）的右焦点，圆（x-c）2+y2=4b2与双曲线C的一条渐近线相交于A，B两点，若|AB|=2a，则双曲线C的离心率为

A.          B.        C.          D.2

解 设AB的中点为M，连接MF，则MF⊥AB.由已知可得|AM|=a，|MF|=b，|AF|=2b.由勾股定理得4b2=a2+b2，则 = ，所以e= = .选C.

6.已知椭圆C的两焦点分别为F1（-1，0），F2 （1，0），且经过点（1， ）.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程.

（Ⅱ）设直线l：x=my+1与椭圆C相交于A，B两点，点B在直线n：x=2上的射影为点D，当m变化时，直线AD是否过定点？写出判断依据.

解 （Ⅰ）椭圆C的标准方程为 +y2=1.（解答过程省略）

（Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）.由x2+2y2=2，x=my+1，可得（m2+2）y2+2my-1=0，Δ=4m2+4（m2+2）>0，则y1+y2 =- ，y1y2 =- .于是可得 + =2m，则y2= .又点D的坐标为（2，y2），则直线AD的斜率k= = = ，于是可得直线AD的方程为y-y2= ·（x-2），即y = （x- ）.所以，直线AD经过定点（ ，0）.

（胡迷革，中学高级教师，河北省特级教师，长年承担高三理科重点班教学工作，多次参与邯郸市模拟考试命题工作，多次被评为市命题工作先进个人）

7.正三角形ABC的边长为2 ，以A为圆心、3为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，P是优弧EF上的一点，且 =λ +  μ ，则λμ的取值范围是

A.[- ， ]      B.[- ， ]

C.[- ， ]       D.[- ， ]

解 取边BC的中点为D，以A为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（- ，-3），点C的坐标为（ ，-3）.设点P的坐标为（x0，y0），则 =（x0，y0）， =（- ，-3）， =（ ，-3）.由 =λ +  μ ，可得x0=- λ+ μ，y0=-3λ-3μ，则λ=- ，μ= ，所以λμ=- · = - =- =- .由y0∈[- ，3]，可得y20∈[0，9]，则λμ=- ∈[- ， ].选C.

8.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C.若A是BC的中点，则直线l的斜率k=______.

解 过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点D，E.由于A是BC的中点，所以 = = .设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则-2y1=y2 .设直线l：x=my+ .由x=my+ ，y2=2px，可得y2-2mpy-p2=0，Δ=4m2p2+4p2>0，则y1+y2=2mp，y1y2=-p2.于是可得y1=-2mp，y21= ，則4m2p2= ，解得 =8，即k=±2 .

9.已知函数f（x）=eln x-ax+1.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性.

（Ⅱ）对任意的x∈[1，e]，都有f（x）

解 （Ⅰ）由已知有 f ′（x）= -a，x>0.当a≤0时， f ′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增.当a>0时，在（0， ）上 f ′（x）>0，在（ ，+∞）上 f ′（x）<0，所以f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减.

综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增;当a>0时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减.

（Ⅱ）由已知有对任意的x∈[1，e]，fmax（x）

当a≤0时，由（Ⅰ）可知f（x）在[1，e]上单调递增，则fmax（x）= f（e）=e-ae+1>0>a，与题设条件矛盾.

当a>0时，由（Ⅰ）可知f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减.当 <1，即a >e时，f（x）在[1，e]上单调递减，则fmax（x）= f（1）=1-a e，即01>a，与题设条件矛盾.当1≤ ≤e，即1≤a≤e时，f（x）在[1， ]上单调递增，在[ ，e]上单调递减，则fmax（x）= f（ ）=1-eln a.由1-eln a0.令g（x）=eln x+x-1，x∈[1，e]，则在[1，e]上，g ′（x）= +1>0，可得g（x）在[1，e]上单调递增.又g（1）=0，所以g（x）>0的解集为（1，e]，即a∈（1，e].

综上所述，实数a的取值范围是（1，+∞）.

（袁琳，中学高级教师，骨干教师，荣获市级优质课一等奖，常年从事一线教学工作，探寻试题命题规律，挖掘思维拓展区，提升考查创新点）

（责任编校 冯琪）