浅谈二次函数的作业练习

摘 要：本文讲述了如何根据教材编制适合学生的练习。

关键词：二次函数;练习题;适合

大多数教师在给学生选练习题时，除了课本上的外，喜欢在资料上去找题。而资料上的题目是否适合自己学生的需要，不得而知。本文将如何根据学习内容，编制自己需要的题，谈一点看法，希望能对各位同仁有所益。

一、 本部分知识点梳理

要编好题，作为一名数学教师，首先得对教材内容有一个很清楚的了解，下面我们不妨把这部分的内容作一个简单的概括。

（一） 二次函数的一般表达式：y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）

1. a的值决定了二次函数图象的形状。当a>0时，a的值越大，二次函数的图象越陡;a的值越小，二次函数的图象越平坦。当a<0时，a的值越大，二次函数的图象越平坦;a的值越小，二次函数的图象越陡;当a的值趋于0时，二次函数的图象就趋近于一条平行x轴的直线。

2. a与b的值确定了二次函数的图象的对称轴：x=-b2a。

3. c的值决定了二次函数的图象在y轴上的截距，即二次函数图象与y轴交于点（0，c）。

4. 二次函数图象与y轴有且只有一个交点;与x轴的位置关系有三种：没有交点、有且只有一个交点、有两个交点。

5. 顶点坐标是-b2a，4ac-b24a。

6. 特殊情况。当b=0时，二次函数图象关于y轴对称;当c=0时，二次函数图象经过原点（0，0）;当b，c均为0时，二次函数图象的顶点在原点（0，0）。

（二） 二次函数的顶点表达式：y=a（x+m）2+n（其中a，m，n为常数，a≠0）

1. 二次函数图象的对称轴是：x=-m;顶点是（-m，n）。

2. 顶点表达式y=a（x+m）2+n与一般表达式y=ax2+bx+c比较，两式中的系数对应关系是：a=a;b=2am;c=am2+n。

（三） 交點式：y=a（x-m）（x-n）（其中a，m，n为常数，a≠0）

1. 二次函数图象与x轴交于点（m，0）、（n，0）。

2. 对称轴是x=m+n2。

3. 顶点坐标是m+n2，-a（m-n）24。

4. 与y轴交点是（0，amn）

（四） 交点式：y=a（x-m）（x-n）与一般表达式：y=ax2+bx+c比较

两式中的系数关系对应是：a=a;b=-a（m+n）;c=amn。

（五） 开口方向与增减性

1. 当a>0时，开口向上，在对称轴两边，左减右增，在顶点处函数取最小值。

2. 当a<0时，开口向下，在对称轴两边，左增右减，在顶点处，函数取最大值。

3. 二次函数的图象是轴对称图形。

二、 根据所教学内容，结合学生的学习情况，编制练习题

（一） 关于二次函数一般表达式y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）

1. 强调自变量的最高次数为2，结合方程练习：

（1）已知：y=3xm+4-5x+2为关于x的二次函数，则m=    。

（2）已知：y=（m2-4）xm2-3m+4-2x-2是关于x的二次函数，则m=    。

2. 结合二次根式中，根号内的取值范围练习：

已知：y=2m-3x2+（m-2）x-2m是关于x的二次函数，则m的取值范围是    。

这道题看起来很简单，学生练习后会明白二次函数一般表达式中a，b，c这三个常数，哪些不能为0，哪些可以为0。在实际考察中，学生往往会出错。

3. 结合特殊二次函数的特点练习

（1）已知关于x的二次函数y=（m-3）x2-（m2-2m-3）x+4的图象关于y轴对称，则m=    。

（2）已知关于x的二次函数y=（m+5）x2+（m2-4）x-m2-m+6，的图象顶点在原点，则m=    。

（二） 求二次函数的解析式

1. 训练学生用待定系数法求二次函数的一般表达式

一般地讲，要求出二次函数一般表达式，需要求出三个系数，就要列出一个三元一次方程组。这类题主要是训练学生求二次函数的解析式。如果教师处理不当，就变成了繁杂的计算题，训练的针对性就不强了。因此，教师应当考虑方程的数字，以降低计算的难度。下面介绍一个出题的技巧。

如果所出的题目达到这样的效果：所求出的二次函数的系数是整数，所列的方程组为三元一次方程组，其中所有的系数为整数，那该如何处理呢？我们举个简单的例子。

教师可以先选定一个各项系数为整数的二次函数，如：y=3x2+x-1.然后选较简单的x的值代入二次函数求出y的值。如选x=1，计算得到y=3;选x=-1，计算得到y=1;选x=2，计算得到y=13。根据以上信息，出下面的题目：

已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，3），B（-1，1），C（2，13），求出二次函数的解析式。

由此列出的方程组：a+b+c=3

a-b+c=1

b-4a+2b+c=13

解出结果是：a=3

b=1

c=-1

所求二次函数的解析式为：y=3x2+x-1。

当然，如果学生成绩较好，在训练学生求二次函数解析式的方法时，也可以同时对其计算能力进行培养，那么，教师可以用这个方法，根据需要更改一些较难数据即可达到目的。

2. 训练学生以达到对二次函数特殊情况的掌握

已知抛物线的对称轴是y轴，且经过A（-2，2）、B（4，6）。求抛物线的解析式。

分析：对称轴是y轴，则二次函数y=ax2+bx+c中b=0。

（1）已知二次函数的图象的顶点在x轴上，且过点（2，-5）、（6，-5）。求二次函数的解析式。

分析：根据二次函数的图象是轴对称图形，所经过两点的特殊性，可知二次函数图象的对称轴是x=4，进而可以得到顶点坐标为（4，0）。因此可设顶点式求解二次函数。学生们通过讨论还可能得出其他一些解法，无论哪种方法，都可以达到加深学生对特殊的二次函数的理解。

（2）结合几何知识对学生进行训练。

①已知二次函数抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为M（3，4）。MAB的面积为8。求二次函数的解析式。

分析：根据面积可以确定A，B两点。

②已知等腰直角三角形ABC的直角顶点与抛物线顶点重合，另两点A、B在抛物线上。C点坐标为（1，-3），等腰直角三角形面积为4。求出抛物线的解析式。

关于二次函数的练习还可以编制很多，只要教师弄清教材的内容，站在比教材更高的角度，再结合学生的实际情况，就能编制出自己需要的作业题。

作者简介：

罗卫东，重庆市，重庆市合川大石中学。