从非一般到一般的构造——数列通项求解

王苏文

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

数列的通项是数列问题的核心.在大多数情况下，数列综合问题的求解，往往是对数列通项公式进行研究，因此数列通项是解决数列综合问题的关键与突破口.根据课标要求以掌握等差、等比数列的通项求解为重点，但事实上很多数列问题的通项往往不是已有的等差或等比形式，因此我们需要从非一般的数列模型转化为一般的等差或等比模型进行求解.

例1已知数列{an}满足an-an+1=2an+1an，且a1=2，求数列{an}的通项公式.

例2已知数列{an}满足nan+1-(n+1)an=2n(n+1)，且a1=2，求数列{an}的通项公式.

例3已知数列{an}满足an+1-2an=3·2n+1，且a1=2，求数列{an}的通项公式.

例4已知数列{an}满足an+1=2an+3，且a1=1，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=2an+3可得an+1+3=2(an+3)，故{an+3}构成一个等比数列.又a1=1,则an+3=4·2n-1，故an=2n+1-3.

一般的，当数列{an}满足an+1=Aan+B(其中A,B为常数)可构造等比an+1+P=A(an+P)(其中(A-1)P=B，当A=1时{an}为等差数列；当B=0时{an}为等比数列，余下必存在P)进行通项求解.

例5已知数列{an}满足an+1=2an+3n-3，且a1=1，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=2an+3n-3得an+1+3(n+1)=2(an+3n)，故{an+3n}构成一个等比数列.又a1=1，则an+3n=4·2n-1，得an=2n+1-3n.

一般的，当数列{an}满足an+1=Aan+Bn+C(其中A,B,C为常数)可构造等比型数列an+1+P(n+1)+Q=A(an+Pn+Q)(其中(A-1)P=B,(A-1)Q-P=C)进行通项求解.

例6已知数列{an}满足an+1=2an-3n，且a1=1，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=2an-3n得an+1+3n+1=2(an+3n)，则{an+3n}构成一个等比数列.又a1=1，则an+3n=4·2n-1，得an=2n+1-3n.

一般的，当数列{an}满足an+1=Aan+Bbn+C(其中A,B,C,b为常数)可构造等比型数列an+1+Pb(n+1)+Q=A(an+Pbn+Q)(其中AP-bP=B,(A-1)Q=C)进行通项求解.

上述几种非一般数列模型它们所对应的an+1,an次数均为一次，很多时候可通过构造法，直接形成一个新的等差数列或等比数列的通项求解.但也有一些数列所给的an+1,an次数有所不同，也是值得关注.

例7已知正项数列{an}满足an+1=2(an)2，且a1=2，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=2(an)2得lgan+1=lg2+2lgan，化成lgan+1+lg2=2(lgan+lg2),则{lgan+lg2}构成一个等比数列，且a1=2,则lgan+lg2=2lg2·2n-1=2n·lg2,得lgan=2n·lg2-lg2，故an=22n-1.