数形结合思想的应用研究

何爱贞

摘 要：实践和研究“数形结合思想的应用”，培养学生敏感、主动的“数形结合”意识，发现数学问题中的“数”与“形”，利用“数形结合”解决相关问题。“数”与“形”之间密不可分，在课堂教学中适当地利用数形结合，把握好数形结合之度，就可以使问题化难为易，化繁为简。

关键词：数形结合思想;应用研究;意义

《数形结合思想的应用研究》是我校向市级申报并立项的研究课题。两年多来课题组成员坚持采用“理论学习—课堂实践—理论提升—课堂再实践”的方式，使课题研究工作不断深入，坚持加强理论学习，积极地在课堂教学中实践，获取第一手研究资料和研究经验。

一、课题研究的现实意义

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。作为一线老师，在研读教材中发现在小学数学中，特别是北师大版新教材，“数形结合”思想在很多内容中都有所渗透。“遇到问题画画图”对以直观形象思维为主的小学生来讲十分必要，但在实际教学中我们发现数学知识是一条明线，得到数学教师的重视;数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。在教授学生知识的同时很少渗透数学思想和方法，导致不少学生（学困生）解决问题的能力不强，不会灵活运用数学思想或方法，使抽象的数学问题和复杂的数学关系直观化、形象化、简单化。不能把所学的数学知识应用到实际中去。因此，根据学生的实际情况，结合我校数学课堂教学实践，确定《数形结合思想的应用研究》研究课题。

二、“数形结合”思想的应用研究实例分析

1.“数形结合”思想在“数”教学中的应用

（1）“数形结合”教学，帮助学生建立“数”的概念

“数与代数”是学习数学知识的基础，是小学阶段数学教学的重要内容。“1000以内数的认识”是学生建立“数”的概念的重要教学章节，通过这一章节的学习，学生会对“数”的概念有一个初步的认识，为进一步的数学学习打下基础。为了实现这一章节的教学目标（即认识计数单位千，发现每两个相邻计数单位之间的十进关系），笔者精心安排了三个层次的教学活动。首先，让学生数方块计数卡，在数的过程中复习对十、百的概念认识，为后面学习千的概念及相邻计数单位间的进位关系做好铺垫;当学生在计数卡中找不到1000时，适时提出问题，鼓励、引导学生将各自手中的计数卡凑在一起，尝试用别的计数单位来代替。然后老师把10张100为单位的计数卡拼加在一起，在黑板上摆出1000。当1000个小方块出现在黑板上时，这种直观的形象会在学生脑海中迅速形成一个重要的结论，那就是10个100等于1000。最后，借助电脑课件，向学生演示由1到10、由10到100、由100到1000的过程，随着电脑图形的变化，学生通过数形结合这种方式将学到的知识进行了梳理，初步建立起“数”的概念。电脑课件的时间并不长，但形象生动，起着画龙点睛的作用。

（2）通过“數形结合”向学生阐明算理

在教学实践中我们发现，对于计算教学，很多课堂教学的重点都放在了计算方法上，忽视向学生进行算理的阐明，其结果是造成学生只会机械地计算而不明其理，这对于学生在数学学习上的长远发展是十分不利的。而之所以忽视算理，一个重要的原因就是算理的抽象性，理解起来有一定的难度。基于此，运用“数形结合”的方式来进行算理的阐明，不失为一种有效的方法。利用数形结合的方式，以直观形象的算理演示，帮助学生更好地理解。如在“小数乘法”的教学中，以求算阴影部分长方形的面积为引，通过数形结合的方式向学生阐明小数乘法的算理。图1到图3不难理解，用数格及简单计算就可以解决，但对于图4中2.7×0.8这个问题，数格显然并不精确，需要通过计算的方式来进行，由此引出章节学习重点，其中的算理也不言自明了。

2.“数形结合”思想在“形”教学中的应用

数形结合，使抽象难懂的“形”一目了然。小学数学教材中，“形”的学习从一年级到六年级都有安排，小学低段数学注重“形”的直观感知即可，其实到了小学中高段数学就已经把“形”与“数”紧密联系起来了。用代数（算术）方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等等。再如求长方形、正方形、圆等平面图形的周长与面积，求长方体、正方体等立体图形的表面积与体积。

如，教学“三角形边的关系”一课时，老师选用画在透明胶片上的16cm长的线段作为学生探究的学具。学生每人一条胶片，剪三段后（整厘米数），有的能够围成三角形（4、5、7;2、7、7），有的不能围绕成三角形（4、3、9;3、5、8;4、4、8），多种情况的出现为后面总结三角形边的关系提供了充足的数据。而后老师在处理“两边之和等于第三边”时，对4、4、8这种情况给予足够关注，学生通过对数据的分析，很容易理解“两边之和等于第三边围不成三角形”，进而得出“三角形任意两边之和大于第三边”的规律。“形”虽然具有直观形象的优势，但是也有烦琐粗略不便于表达的劣势。要知道一些图形的特点，或者对于几何图形性质的判断，都需要通过计算才能得到正确的结论。例如，要比较两个周长相等的正方形、长方形面积的大小，凭直观地观察图形难以判断，但通过具体计算就能够一目了然。

3.“数形结合”思想在“解题”教学中的应用

（1）数形结合，化抽象为直观，从容解决问题

如“鸡兔同笼”一课，研究发现大部分教学以假设法为主，或假设全是鸡，或假设全是兔，然后引导学生直接套用公式解决问题，结果除了一部分优生外，其余学生听得一头雾水。我们课题组成员苏小英老师在执教一课中，就充分运用“数形结合”来帮助学生解决这类问题。问题“已知鸡和兔一共有10只，一共有32条腿，求鸡兔各有几只？”出示后，如果用算术方法来解决这个问题，部分学生不能理解，然而借助画图的方法，用圆表示10只动物。假设全是鸡，则每只鸡有两条腿，把腿画出，只有20条腿，但还有32-20=12条腿没画。如果每只再添2条腿，这样还得添12÷2=6只，得出兔子有6只，鸡有4只。如果每只再添2条腿，这样还得添12÷2=6只，得出兔子有6只，鸡有4只。在类似的教学中，可以让学生画图等“直观图”形式，通过借助直观图这种“数形结合”的方式来使得看似抽象的问题直观化，符合小学生以具体思维为主向抽象思维过渡的思维特点，从而让解决问题变得轻松自如，且保护学生的学习信心，激发学生的学习兴趣。

（2）数形结合，把形式多样的实际问题变成条理清晰的数学问题

小学生由于生活经历少，在遇到一些没有亲身经历过的实际问题时，往往没有办法把它们很好地转化为数学问题。教师在教学一些比较复杂的实际问题时，就要学会根据教学内容的实际情况，适时地引导学生通过画图来理解题意，表示数量关系，在自己动手作图的过程中，建立出问题的表象，从画图中去直观地体验领悟。

小学低年级的排队问题，经常出现两种不同的题型：一种是类似于从右边数起，小明排在第5个，从左边数起，小明排在第4个，这一排一共有多少人？另一种是小明的前面有5个人，小明的后面有4个人，这一排一共有多少个人？两个问题乍一看好像差不多，但其实问题中小明被算了2次，问题二中小明没有计算在内。很多学生解决问题时往往只知道用题目中出现的数字去计算，于是两题的解法都变成5+4=9。这时教师就可以适时地引入数形结合思想，教学生学会画简单的图形，把排队的这个实际问题画到自己的本子上，学生就能很直观地感受到自己的算法问题出在哪里了。

总之，在实际教学中，“数”辅助“形”，可以将“数”形象化;“形”辅助“数”，可以使“数”直观化。数形结合思想以它独有的优势在小学数学的各个阶段、各个研究领域发挥着非常重要的作用。如果每位教师都能做数学教学的有心人，充分地挖掘出每册教材中可以渗透“数形结合思想”的每个内容，再有意识地对学生加以引导，充分展示出“一图抵百语”的优势，把数形结合思想落到实处，不仅能为小学数学的发展开辟出更广阔的天地，更能让小学数学课堂充满乐趣，使每一位学生由怕数学的“矮子”变成爱数学的“巨人”。

参考文献：

吴正宪，武维民，范存丽.听吴正宪教师评课[M].华东师范大学出版社，2012-09.

编辑 王彦清