换元法解题探究

摘 要：换元的思想和方法无论在初等数学中，还是高等数学中，应用都很广泛，如因式分解、解方程（组）、根式化解、证明不等式、求函数的定义域和值域、解数列问题等等。灵活巧妙地运用换元法解决问题，可化繁为简，化难为易，达到事半功倍的成效。本文将以如下问题为例进行简要分析说明。

关键词：换元法;解题思路;波利亚解题步骤

中学数学教育对学生思考问题和解决问题等方面十分注重，因为这不仅与学生思维逻辑的培养有较为密切的关系，并且与中学生的升学要求相联系，有思想深度的课堂，能给学生留下长久的思想激动和对知识的深刻理解，进行数学教学的根本目的，是通过一些数学思想方法的传授，要让学生形成一种“数学头脑”，使他们在观察问题和提出问题、解决问题的每个过程中，都带有鲜明的数学色彩，这样的数学一定会有真正的实效和长效，真正提高人的素质。对于解题这一范畴我们同样需要形成思维模块，针对不同的问题采取不同的解题方法，在这些十分巧妙的解题方法中有一种千变万化的解题思路即换元法，中学数学教材中很多内容都体现了换元的思想方法，由于在一些传统的教学模式的培养下，学生往往养成复制、模仿的习惯，死记硬背，生搬硬套，不会解释，更不会灵活应用换元法，养成这种习惯，常会因为知识系统中某一环节的缺失而犯系统性错误，使学生学习处于被动状态，这对学生学习是非常不利的，为帮助学生更好的应用换元法，接下来从一道例题出发，以此来体会换元法的巧妙。

例1 设x，y，z∈（0，1）且满足x+y+z=1。求证：

xx+yz+yy+zx+zz+xy≤332;

要解决以上问题，可以根据美国著名数学家和数学教育家波利亚所编写的《怎样解题》中的解题步骤进行相应的解答。

第一步，弄清问题，如未知数是什么、已知数据是什么、条件是什么等等。结合本题，已知条件为x，y，z∈（0，1）且满足x+y+z=1，要求证的是一个不等式。

第二步，拟定计划，恰当的换元有较强的技巧性和一定的难度要求，在换元解题时，究竟要引入什么样的替换变量和怎样引入，不同的问题有不同的方法和技巧，从不同的角度考察，代换形式也有所不同。换元法就思想方法可以分为整体代换、局部代换;就新元的特征可分为三角代换、均值代换、增量代换、复变量代换;就被换元的形式可分为常数代换、式的代换。

针对例1通过观察其结构特征发现题中的未知数都处于同等地位，猜想对不等式左边的三部分任取一部分进行研究，不妨取xx+yz。在题目中有x，y，z的范围，与“p+q+r=1，且0≤p，q，r≤1，求证：p+q+r≤3”有相似之处，如果能解决这个问题对解决例1有很大的帮助。

p+q+r=1，且0≤p，q，r≤1，求证：p+q+r≤3。

分析：∵p，q，r三者都在0～1之间，符合三角函数值域的范围，

∴可作三角代换。

证明：令p=cos2α，q=sin2αcos2β，r=sin2αsin2β，其中α，β∈[0，π2]，则p+q+r=cos2α+sin2αcos2β+sin2αsin2β=cosα+sinαcosβ+sinαsinβ=cosα+sinα（cosα+sinα）=cosα+2sinαsin（β+π4）cosα+2sinα=3sin（α+φ）3。

结合以上的分析和解题过程发现与例1类似的地方就是变量的范围和三者之和为1，由于例1中的变量在其结构是同等地位且不等式中含有分数形式，所以猜想如果能把p，q，r代换成同种结构是最好的，经过多次尝试发现了一种代换方式能同时满足上面两个条件并且三个变量通过换元后的结构一致。

分析：在△ABC中，有恒等式tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1，设x=tanA2tanB2，y=tanB2tanC2，z=tanC2tanA2，其中A，B，C是△ABC的三内角，这样即可实现代数不等式和三角不等式的互换。

第三步，实施计划，按照第二步的分析过程进行相应的具体解题步骤的书写。

证明：∵x，y，z>0，且x+y+z=1

∴设x=tanA2·tanB2，y=tanB2·tanC2，z=tanC2·tanA2，其中A，B，C是△ABC的三内角，则有以下等式成立：xx+yz

=tanA2·tanB2tanA2·tanB2+tanB2·tanC2·tanC2·tanA2

=11+tan2C2

又∵cosα·secα=1，1+tan2α=sec2α

∴11+tan2C2=cosC2·secC2sec2C2=cosC2secC2=cos2C2=cosC2

即xx+yz=11+tan2C2=cosC2。

同理yy+zx

=tanB2·tanC2tanB2·tanC2+tanB2·tanC2·tan2A2

=11+tan2A2=cosA2

zz+xy=tanC2·tanA2tanC2·tanA2+tanA2·tanC2·tan2B2=11+tan2B2=cosB2。

设f（x）=cosx，x∈（0，π2），则有f′（x）=-sinx<0，f（x）=-cosx<0。由琴生不等式可知cosA2+cosB2+cosC2cosA2+B2+C23=cosπ6=32

∴cosA2+cosB2+cosC2≤332

∴xx+yz+yy+zx+zz+xy≤332

第四步，回顾反思，看到这道题的第一眼时并没有太多想法，因为本道题首先给出的条件很少，其次带有根号，难度可想而知。一看到不等式证明脑海中的第一个想法就是利用均值不等式进行求解，但结合例1中要证明的，发现并不好实施，所以需要下一步的考虑。通过观察其结构特征，能够发现变量之间的联系，再结合与之相似的例题，得出可以通过三角换元的方法进行证明，紧接着比较两者之间的相同点与不同点，找到恰当的形式作出相应代换。由于换元后的形式有些复杂，所以通过三角函数中合适的并且已经明确的一些等式来进行一步接一步的化简，以至能达到我们期望的结果，即将不等式左边的三项全部转化成熟悉的余弦函数的形式，最后的点睛之笔就是对琴生不等式的应用。琴生不等式给出的是凸函数值和凸函数的积分值间的关系f（x1+x2+x3+…+xnn）≥

f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）n與本题所要得出的结果有类似的地方，所以最后采用琴生不等式做最后化简并得出相应结论。

参考文献：

[1]赵金荣.换元法及其在高中数学解题中的应用[J].解题技巧与方法，2015（13）：98.

[2]黄慧.浅谈换元法及其应用发展思维能力[J].数理化解题研究：初中版，2015（11）：15.

[3]罗灿，方厚良.用换元法使三角函数的学习“活”起来[J].中小学数学：高中版，2016（1）：106-107.

作者简介：

李珊，四川省南充市，西华师范大学。