数学表示：从“知识放逐”到“知识回归”

瞿芬

[摘 要]“数学表示”是指学习者利用文字、符号、图示等形式，将自己对数学概念的理解、问题解决的策略、结论的剖析呈现出来的一种学习媒介。因对“数学表示”本质认识的不足，诸多问题盘延而生。以翔实的课例为载体，围绕“数学表示”的四个类型展开论述，提出相应的应用思路，进一步阐明了“数学表示”在小学阶段学生新知学习中的重要作用。

[关键词]数学表示;知识;破题

现代数学内容的抽象性和严谨性让教师简单地将学生的学习任务定位于单线制的模仿和复制，最后形成学生强于计算、论证，却不善于表示的尴尬局面。从某种程度来说，这是逻辑思维和概括能力退化的表现。高度抽象的数学知识对于小学生而言犹如撒落在地的珍珠，亟须一根坚韧的“细绳”，将它们进行串联。这样的教学趋势就需要教师从数学学科本位角度着手，利用合理、合情的方法将数学的理论知识进行转化，通过适当的学习媒介，帮助学生立足生活现实进行建模，明晰弊端和差异，提升数学素养。

一、“数学表示”的现实描述

在数学教育不断发展的当下，利用“数学表示”为学习媒介正以其特有的可操作性及相对的运用价值，得到一线教师极力推崇。2011年版课程标准中更是在一些核心概念中渗透了“数学表示”的作用及意义。何为数学表示？“数学表示”是指学习者利用文字、符号、图示等形式，将自己对数学概念的理解、問题解决的策略、结论的剖析呈现出来，它是思维过程外显、暴露的一种学习方式，是一种学习媒介，也是一个数学化的过程。一般而言，“数学表示”分实物表示、语言表示、符号表示和图式表示四类。但在教学实践中因教师对“数学表示”认识的不足，从而淡化了其运用价值。

（一）信息干扰的实物表示

实物表示是“数学表示”中最为常见的一种，一般在概念教学中，为了让学生能深层次地理解数学概念的深意，教师会提供一些物理客体，借用直观材料，让学生通过实物的对比、分析，掌握新知。但一些直观的材料在呈现的过程中，往往伴随着大量的无关信息，容易让学生受到众多非本质属性的干扰，难以发现本质共性。

（二）趋于形式化的语言表示

数学语言的发展是一个循序渐进、不断变化的过程，它从简单、物化的自然语言为起点，经过规范的引导，内化为学生的自我语言，最后演变成外显的数学语言表示，但因学生的自身差异，会有不同程度的偏差。一些教师把数学语言表示定位为简单的语言重复，学生只能在对数学知识一知半解的情况下，死记硬背一些概念注解，使数学语言表示趋于形式化，难于构建自己的数学理解。

（三）过于强调标准的符号表示

为了揭示数学的本质，在解决一些数学问题时，教师都习惯让学生通过一些数学符号，将具体形象的数学问题加于概括和抽象，从而提炼其问题的实质。但又因教师对于数学符号表示标准的局限，限制了学生思维，缩小了概念的外延描述，从而导致学生对于常见的非本质属性的认识也产生了困惑。

（四）片面精细化的图式表示

在认识和理解数学问题时，教师往往喜欢让学生借用直观、简约的数学图式表示，以降低学生数学思考的难度，让学生在概括中寻找数学表征，凸显问题的实质，进而帮助学生厘清数学思考的路径，拓宽问题解决的途径，实现问题解决策略的优化。但在实际的教学中，教师的图式表示往往过于精细化，而冲淡了问题解决的本意。

二 、“数学表示” 的应用思路

（一）求同与求通：突出本质，回归知识本源

小学生虽具有一定的抽象思维能力，但面对以空间形式、数量关系为研究主题的数学学习时，还是需要一些具象物体为中介物。因而，在教学中，教师选择适当的数学表示方式，让学生参与数学抽象的过程，发现数学思维的方法，能让学生在学习的过程中经历“求同”到“求通”的过程，突出学科本质，实现问题形式化表达、方法模式化建构的价值体现，回归知识本源。

1.借用数学符号表示，暴露数学思维过程

抽象的“数学表示”有着不同的层次界定，一般而言，符号的替代是问题解决的初始阶段，它是学生将形象的表征特点概缩化的集中表现，凸显了问题的共性，特别是在低年级的教学中最为常见。

【案例1】人教版教材二年级上册“乘法的初步认识”。

师：学校准备给每个学生发2本书，有4个学生，学校要准备多少本书？

生1：要准备8本书。2+2+2+2=8（本）。

师：如果全班45个学生，有几个4相加？你会列式吗？

生2：45个2相加。

师：那你们写一下吧！

生3：2+2+2+…+2，我写得好累，好麻烦！

师：对！确实有点麻烦，有没有更简单的表示方法呢？

生4：可在2和45中间添上一个符号，写成2△45或45△2。

生5：还可以在2和45中间加一个☆，写成45☆2。

师：你们所说的“△、○、☆、*”也可以用 “×”表示。

师：这个符号就是乘号。仔细看这个符号，像什么？

生6：像字母“X”。

生7：我觉得它像“+”旋转得到的。

师：2+2+2+2+2表示5个2相加，为了便于书写和记忆，可以用一种特殊的符号“×”表示，写成2×5。

评析：在本课例中，用“2× 45”来替代“45个2相加”这一烦琐的加法算式，不仅使学生体会到了“符号表示”代替文字描述的简洁性，而且能让学生在符号呈现的过程中暴露出数学思维过程，从而得到启发，形成问题解决的简易模型。

2.利用数学图式表示，强化数学思维体验

小学生因为思维缺乏足够的表象支撑，再加上教材篇幅的限制——只利用一两道例题得出的结论引导学生学习，学生很难真正理解知识。因此，以教材例题资源为基础，教会学生抽象的数学表示方式，在各种图式表示的概括、比较中强化学生的数学思维体验，是加深学生对数学本质的理解的主要方法。

【案例2】人教版教材二年级上册“问题解决”。

出示例题：1.教室里每排有5张桌子，一共4排，问一共有多少张桌子？2.教室里有两排桌子，一排5张，另一排4张，一共有多少张桌子？

师：你知道了些什么？

生1：对于第1题，我知道了有4排桌子，每排5张;对于第2题，我知道有两排桌子，一排4张，另一排5张，两道题都是求一共有几张桌子。

师：你会解决吗？能用你喜欢的方式把你的想法表达出来吗？请动笔试一试。

学生作品

师：说说你们的想法。

生1：第1题因为每排有5张桌子，有这样的4排，所以我画了5颗五角星表示每排的5张桌子，然后画了4排，就表示4个5。列式：5×4=20。第2题已经告诉一共有两排，一排5张，另一排4张，求一共多少张就是把两部分合起来用加法计算。

生2：“ 5×4”表示4个5相加，所以要一层层叠起来;“5+4”表示把两部分合起来，求总数，所以就将两部分合成一部分。

评析：低年级学生分析能力弱，对于一些简单的加法应用题和乘法应用题，往往会出现颠倒运算的现象。为避免这样的现象，教师可以尝试利用图式表示方法引导学生将抽象的概念转化具体表象。在本案例中，教师为了给学生提供一个抽象建模的具象支架，创设利用画或写理解题意的活动情境，让学生以整体观念形成图式支撑，通过画图、讲述、比较，在自然辨识的基础上感受用加法和乘法解决问题的区别。从图式来看，生1呈现的是一种结论的验证，而生2呈现的是解决数学问题的整个思维过程，更具科学性。这样一来，最大限度地提高了学生的审题意识。

（二）勾连与突破：跨越认知，促数学技能形成

数学知识的运用是一个抽象到具体显现的表示过程，为了体现数学知识固有的活动感及问题性，我们调和“知识储备”与“方法强调”两者之间的矛盾，创设抽象到具体的数学表示方法，教会学生解决问题的方法，促进学生跨越认知的局限，勾连知识点，突破教学的重难点，使学生的数学方法真正累加、数学技能有效形成。

1.运用数学语言表示，衔接数学思维方法

以丰富的个性概括数学本质的共性，对于小学生而言并不是易事，因为这个过程是学生数学内涵掌握、知识应用的一个完整过程，必须包含将实际获得的发现过程还原为语言表达的思维过程;将逻辑演绎、推理猜想过程还原为语言表达的两个维度目标。可见，数学语言表示有着重要的作用与意义。

【案例3】人教版教材一年级上册“6～9的认识”。

师（课件出示实物图片：课本第15、16页）：你们能数出这些事物的数量，并根据数量说一句话吗？

生1：我知道，8个葫芦。

生2：还有6个哨子。

生3：我找到9个勺子。

生4：还有7把小刀。

师：这个6表示什么？ （6个哨子）我们在什么地方还能用到6？谁能用6说一句话？

生5：我有6个好朋友。

生6：我有6本课外书。

生7：我们组有6张桌子。

评析：在这个案例中，教师以问题情境为导向，先让学生把发现的、看到的东西的数量分别都用具体的数字说出来，充分感受数“6”的意义;接着为了让学生进一步体会数学语言表示的作用，借用“我们在什么地方还能用到6？谁能用6说一句话？”这些问题，让学生呈现自己的思维过程，初步建立数感。这种学习方式，不是简单地形象化表述，而是适当的问题延伸及等待延时的开始，因为，这样的学习过程能让学生的思维不断得以拓展，真正做到对数学知识内涵的合理掌握。

2. 巧用數学实物表示，突破数学思维局限

当前的数学课堂教学与数学的本质是有所偏差的，一些学习缺失研究过程完整地呈现，不能让学生对知识的本质有清晰的认识。这时，就需要为学生提供揭示知识本质的时机和方式，激发学生的数学学习兴趣，促进学生数学思维的进一步发展。

【案例4】人教版教材五年级下册活动课“长方体和正方体的展开和折叠”。

师：正方体展开后会得到什么形状的图形？

学生动手操作，初步探究。展开要求：

①沿棱展开。

②边展边想，相对的面跑哪里去了？

③全部展开后，将展开的图形记录在作业纸上。

④想一想还有没有其他不同的展开方式。

各小组的成果

师：像这样由立体图形展开得到的平面图形叫作长方体和正方体的展开图。 观察展开图，有什么特点？

生：相对的面的位置隔了一个面，展开图不唯一，有四个面连在一起的，也有三个面连在一起的。

评析：在这个环节中，教师巧妙设计，利用玩具磁力片来代替常用的盒子，先让学生经历实物的动手操作过程，寻找知识的切合点，促使学生对原有的知识有一个连贯、互动的运用，避免了“一四一型”的思维定式;再让学生进行任意的展开和折叠，进而积累操作经验。

总之，教与学是一个不重复、多元化、不断变化发展的过程。在这一过程中，“数学表示”引领我们从一个新的视角展开教学。为促进学生数学知识的自然生成和运用，每位教师需理性地审视自己的课堂，学会合理运用“数学表示”，准确把握学生发展的转折点，，有效建构模型，将“放逐”的知识回归，实现教学资源的高效利用。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 张奠宙，过伯祥.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，1996.

[2] D.A.劳格斯.数学教与学研究手册[M].上海：上海教育出版社，1999.

[3] 刘加霞.数学表示对小学生数学学习的价值分析：兼评华应龙老师执教的“指尖上的数学”一课[J].小学教学（数学），2015（1）：13-15.

（责编 黄春香）