商不变时，余数变了怎么办？

周丽

[摘 要]研究除法里的商不变规律时，学生很容易理解“被除数和除数同时扩大或者缩小相同的倍数，商不变”就代表结果不变，但是一旦涉及余数，学生就难以把握。余数随着被除数和除数的变化而同步变化，对于“商不变，但是余数变了，商和余数共同决定的结果到底变不变”这个问题，需要将余数作为除数（份数）“共有”的来考虑。

[关键词]商;不变;余数; 变

苏教版教材第六册的期末测试卷上有这样一道计算题“612[÷]2[÷]4=？”，多数学生是依照正常顺序展开计算的，如612[÷]2[÷]4=306[÷]4=76……2，少数学生另辟蹊径：612[÷]2[÷]4=612[÷]4[÷]2=153[÷]2=76……1;612[÷]2[÷]4=612[÷]（2[×]4）=612[÷]8=76……4。上述三种解法，孰对孰错？众说纷纭。当然，多数教师支持第一种解法，理由是这种解法恪守运算顺序。笔者以为，教师的首要任务是查明现象背后的情由，反思：我们拿什么来评判对错？出现这种乱象，如何拨乱反正？笔者经过深入思考，有如下感触。

一、探求学生计算的经验基础

“连除”是苏教版教材第六册第一章的内容，教材提供了问题情境，示范的两种算法均是分步演算，没有直接呈示类似“224[÷]2[÷]4”的综合算式。之所以这样设计，是为了让学生结合情境图领会分步计算的逻辑性，而非展示“连除”的运算顺序。教材呈现两种算法的公共支点是“平均分”。先看第一种算法：224[÷]2=112，112[÷]4=28;第二种算法：2[×]4=8，224[÷]8=28。以上分步算式为综合算式“224[÷]2[÷]4”的推出带来哪些帮助？

在第一种算法中，两次求商，正好暗合了综合算式“224[÷]2[÷]4”自左到右的计算次序，而第二种分步算法采用不同的思路，第一步先算2[×]4的积，即用乘法求出书架总层数，再直接求出每一层书架上放的书本数。这种做法预示着在算式“224[÷]2[÷]4”中，将两个除数求积，再除被除数。

而对于先除以4再除以2的变式，仍是利用平分的经验，即把一样物品先等分成2份再等分成4份，与先等分成4份再等分成2份，分配的结果并无不同，只是分配的方式方法不一样，这几乎成为一条不证自明的公理。从事理上可以这样演绎：先把两个书架组合成一个大书架，这样组合而成的大书架仍是4层，224本书均匀分散到4层书架上，每层书架放置几本？列式便是224[÷]4，结果得56本，而每层书架都分为左右两部分，因此，对于求一个单独书架一层放置几本书，必然用56[÷]2得28本了。

反观教材习题，不论是计算题还是应用题，采用上述三种算法均可，因为教材中提供的范例，无论怎么算都能整除。而上述测试卷给出的算式“612[÷]2[÷]4=”无论采用哪种算法，最终都不能整除。由于三种算法余数各不相同，教师便误以为计算结果不同，非对即错。当然，如果学过了小数除法，用小数表示得数，三种算法的结果必然一致。

看来问题出在数据设置上，假若将后一个除数4更替为3，无论是在什么情境下，其结果都是一个确定整数值，此时也就无异议了。

二、探析三种算法本质上的共通性

连除计算和应用，是对“除法意义”的扩展与延伸。学生对“除法的认识”是研究“连除性质”的基础。“一个数接连除以两个数（或几个数），等于除以这两个数（或这几个数的积）”，本质就是重复“平均分”。对一个数无论是多次均分，还是一次性分配彻底，只要最后总份数相同，每份数也必然相等。按照这种认识，上文提到的三种算法都有道理，从带余数除法的性质和商不变规律来看，三个结果虽然表面形式不一样，其结果指代的意义其实是一样的。

例如，“612[÷]2[÷]4=306[÷]4=76……2”“612[÷]4[÷]2=153[÷]2=76……1”和“612[÷] （2[×]4）=612[÷]8=76……4”，这三种算法的第二步算式中，被除数变为306、153和612，除数则分别为4、2和8，不彻底商均为76，余数分别为2、1和4，都遵守“余数要比除数小”的原则，也满足商不变的规律。如“153[÷]2=76……1”“306[÷]4=7……2”“612[÷]8=76……4”，被除数和除数同时增大2倍，商维持76不变，但是此时余数随之扩大2倍。

必须指出的是：就带余除法而言，该怎么界定？笔者认为，上述三种算法中的“商76”严格上都算不上确切结果，如“把306颗糖果平均分给4名儿童”，如果说“每名儿童分到76颗”不够严谨，应该捎上余数，说“每人分到76颗，还剩下2颗”。教师不能偏执地认为，三个余数不同，三个算式的结果也不一样，要明晰每个余数的意义，要把“余数”这个数值代表的实际意义放到情境中来考虑。如对于算式“153[÷]2=7……1”，不妨这样理解：把612本书等分为4批，每批153本，把8名学生等分为4拨，每拨2人，一拨人分一批书，也就是153本书平均分给2名学生，每人分得76本，还剩下1本，这1本是每拨人共剩下1本，4拨人共剩下4本;同样，把612本书等分成2批，每批306本，將8名学生等分成2拨，每拨4人，一拨人分一批书，也就是306除以4，每人分到76本（另一拨也一样），余下2本，这2本是这一拨人共同剩下的，另一拨人也剩下2本，还是共剩下4本。于是上述三个算式结果是一样的。也就是说，比较余数大小时，要结合除数考虑，在等分除里，余数是除数“共有”的，不能说“153 [÷]2=76……1”的余数“1”要比“306[÷]4=76……2”的余数“2”小，应该说2人“共有”1本书与4人“共有”2本书是一码事。

三、用长远的眼光看待“带余除法”教学

“带余除法”是第四册的内容，教材是通过分配物品的活动让学生实践得出“余数要比除数小”的结论。笔者认为，这种教法很肤浅，不能让“带余除法”迁移至后续的商为小数的除法的学习，不能贯通有余除法与平均分之间的紧密联系。

因此，首次接触“余数”时，为了给“余数”留出发展空间，教学时可以适当丰富商和余数的含义，为后续小数除法的学习埋下伏笔。如增设这样的环节：9块饼干等分给2个小孩，每人分到几块？分完了吗？列式计算：9[÷]2=4（块）……1（块）;18块饼干平分给4个小孩，每人分得几块？列式计算：18[÷]4=4（块）……2（块）。然后教师追问：“两次分配，饼干数增加了一倍，人数也增加了一倍，每人分到手的饼干数还是那么多吗？第一次分配的余数是1块，第二次分配的余数是2块，能说明第二次剩下的饼干比第一次剩下的饼干多吗？第一次剩下的1块饼干是几人共同占有？第二次剩下的2块饼干是几人共同占有？如果将剩下的饼干继续平分，每个人二次分到的饼干量和最终分到的饼干量相等吗？”

当然，第一次学习小数除法时，由于数域的扩展，学生明白一块饼干可以继续分下去，虽然结果无法用“1”来表示，却可以用分数或小数来表示。教学时，教师应该用长远的眼光来实施小数除法教学，充分调动学生的余数经验，再联系学生对小数的认知，强化学生对小数除法的理解。

（责编 黄春香）