基于卡尔曼滤波的公司债券利差动态分析

黄杰敏

【摘 要】 文章通过卡尔曼滤波法对交易所市场公司债券收益率期限结构进行分析，构建了N因素期限结构仿射模型。采用最小二乘法与卡尔曼滤波分析法对影响公司债券收益率利差的宏观经济因素、资本市场因素和债券个体因素进行综合分析。研究发现，用最小二乘法进行回归时，部分因素不显著;用卡尔曼滤波进行影响因素综合分析时，所有变量均显著，并且这些影响因素随時间发生变化存在一阶滞后项。表明基于状态空间模型的卡尔曼滤波法很适合对公司债券利差影响因素进行综合分析。

【关键词】 卡尔曼滤波; 公司债券利差; 综合分析

【中图分类号】 F830.9  【文献标识码】 A  【文章编号】 1004-5937（2019）15-0116-08

一、利率期限结构研究综述

国内外学者对公司债券利率期限结构仿射模型进行了不同程度的研究，成果很丰富。

国外许多学者研究发现三因素模型能较好地拟合观测数据。Dai和Singleton[ 1 ]分析了仿射期限结构模型在结构与拟合优度方面的不同，结果表明这些模型在模拟风险因素的相关性与波动性方面各有优劣。他们将N因素仿射模型扩展到N+1因素仿射模型，尤其对三因素模型，根据理论分析及其他学者的研究，表明三因素模型能更好地拟合历史利率曲线。Vasicek与Cox等假定瞬时短期利率r（t）是N因素状态向量Y（t）的仿射方程，即r（t）=？琢0+ ？琢yY（t），Y（t）服从高斯分布与平方根扩散[ 2-3 ]。有学者将Markov的单因素短期利率模型进行扩展，引入r（t）的长期随机均值？兹（t）与波动率v（t），短期利率仿射模型为dr（t）=（？兹-r（t））dt+■dB（t）。这些模型是在债券定价与利率衍生品基础上发展而来的，一些期限结构的文献做出了很大贡献，但是期限结构仿射模型在结构与拟合优度方面还可以更完善。Duffee[ 4 ]认为仿射模型不能很好地预测国债预期收益率，假设收益率服从随机游走时预测效果较好，那些模型失败的原因在于风险补偿是风险的协方差，而风险补偿的变化不独立，它与利率波动性相关，因此提出了本质仿射模型。该模型保持了标准模型优点，但使得利率风险的变化与利率波动性相互独立，在预测未来收益率时具有重要作用。Jong[ 5 ]结合时间序列与截面信息对期限结构仿射模型进行分析，用离散化的连续时间因素过程进行卡尔曼滤波分析，发现三因素模型能较好地拟合截面与动态期限结构模型。Duffie和Kan[ 6 ]采用利率期限结构的连续无套利多因素模型发现具有固定到期时间的收益率服从随机波动的多参数Markov扩散过程，并假设零息票债券收益率依赖于所选的收益率基础组，用带跳跃扩散来解决利率期限结构问题。

Longstaff和Schwartz[ 7 ]用简单方法评估具有违约及利率风险的公司债价值（这个方法来自于封闭形式的固定与浮动利率估值模型，模型对债券定价及对冲公司债券风险提供了新视角），发现违约风险与利率之间的关系对信用利差有重要影响，利用公司债券收益数据进行分析，发现信用利差与利率负相关，风险债券久期依赖于利率，结果与估值模型结果一致。并用V代表公司资产总价值，V的动态变化如下：dv=？滋Vdt+σvdz1，其中σ是常数，z1是标准维纳过程;用r代表短期无风险利率，r的动态变化如下：dr=（？着-？茁r）dt+？琢dz2，？着、？茁、？琢是常数，z2是标准维纳过程，dz1与dz2的瞬时相关性是dpt。Cox[ 3 ]用一般均衡资产定价模型来研究跨期利率期限结构。在此模型中，预期、风险厌恶、投资选择及消费时机偏好都影响债券价格，提出了债券价格公式，实证分析表明，它能很好地拟合实际数据。Vasicek[ 2 ]采用利率期限结构模型并提出如下假设：（1）瞬时利率服从扩散过程;（2）折价债券价格只依赖于即期利率期限;（3）市场是有效率的。他发现债券预期收益率与它的标准差成比例并将这一性质用于债券价格偏微分方程。Vasileiou[ 8 ]用到期没有违约债券的向前概率对违约债券进行估值，发现半马尔科夫性质不变，并研究了信用利差的期限结构，在风险溢价假设下为估计向前转移概率提供一种算法。Lamoureux和Witte[ 9 ]用贝叶斯估计方法对Cox[ 3 ]期限结构模型在时间序列与截面实证分析中的限制条件进行分析，发现时间序列对两因素模型的限制与数据一致，而截面对模型的限制与数据不一致，三因素模型更显著，但是对时间序列的拟合效果变差。

在国内，范龙振和张国庆[ 10 ]采用卡尔曼滤波法实证分析连续时间两因子及广义高斯仿射利率模型，结果显示模型能较好拟合实际利率期限结构，但是利率误差存在相关性，说明模型不能很好地描述其时间序列特征。王晓芳等[ 11 ]利用三次样条函数建立利率期限结构曲线。范龙振[ 12-13 ]用利率期限结构三因素高斯仿射模型估计上交所国债利率，发现模型能较好地反映利率变化，并采用卡尔曼滤波和极大似然法估计国债连续时间的两因子Vasicek模型。高艺杰[ 14 ]对公司债券利率期限结构进行研究，发现公司债券的短期和长期利率具有长久均衡效应，和预期理论一致，但期限不相同的债券之间的传导不明显，表明公司债券市场还需进一步完善，目前投资者仍喜欢进行短期投机。

国内外关于利率期限结构的研究有很多，国外学者多采用卡尔曼滤波法及蒙特卡洛法进行实证分析，多集中在商品价格期货与现货、公司债券定价，也有一些对公司债券收益率利差和债券收益的研究，发现模型能较好地拟合公司债券定价;国内主要是对国债期限结构的研究，发现期限结构模型能较好拟合国债价格与收益率。目前，国内对公司债券期限结构研究非常少。本文主要应用卡尔曼滤波法研究上交所与深交所公司债券收益率期限结构。尹文静[ 15 ]利用卡尔曼滤波时间序列模型研究农村公共投资对农民生产投资产生的影响，本文借用她的研究方法，采用卡尔曼滤波时间序列模型对影响公司债券收益率利差的主要影响因素进行综合分析。

二、卡尔曼滤波模型的建立

（一）数据描述

本文选取深圳证券交易所与上海证券交易的公司债券数据，选择成熟期大于1年的公司债券，因为成熟期小于1年的债券对利率非常敏感。分别选取期限为3年、5年、7年与10年的债券周平均收益率。数据描述性统计量见表1。由表1可知长期债券平均收益率小于短期债券平均收益率，从JB统计值可知7年期债券平均收益率不服從正态分布，其余均服从正态分布。

（二）期限结构仿射模型的建立

（三）卡尔曼滤波分析过程

卡尔曼滤波是由一系列递归数学公式、信号方程描述可观察的债券收益率与不可观察的状态变量之间的关系，而状态方程描述状态变量的变化过程。卡尔曼滤波的功能很强大，通过观察数据给定状态变量初始值，它不但能估计模型隐含的状态变量，而且可以结合极大似然法估计模型的未知参数。

三、公司债券利差影响因素综合分析

尹文静[ 15 ]利用卡尔曼滤波时间序列模型研究农村公共投资对农民生产投资产生的影响，本文借用她的研究方法，采用卡尔曼滤波时间序列模型对影响公司债券利差的主要因素进行综合分析。前述从宏观经济环境、债券市场、公司个体层面三大方面对公司利差进行研究，主要包括CPI、股票综合指数、债券综合指数、股票特质波动率、债券特质波动率、公司规模、公司价值、违约、期限、债券等级、债券收益波动率、发行量、债券年龄、交易量及交易额等因素。这里没有把所有因素都包括进去，而是选择显著的变量，它们具有一定代表性。本节选取股票综合指数、债券综合指数、公司规模、公司价值、违约、期限及债券年龄等因素进行分析。

（一）综合因素模型的建立

本文选择随时间变化参数的状态空间模型来分析公司债券利差的影响因素。动态时变模型能很好地分析影响因素的动态变化及模型运行变量在一段时间内的结构性变化，该模型已成功用于利率分析、期货现货分析、旅游需求分析等。本文用y表示公司债券利差，用x1、x2、x3…xn表示公司债券利差影响因素。

状态空间模型由信号方程与状态方程组成，状态变量可以通过估计得出。如果状态变量是一阶马尔科夫过程，则下一个状态只与当前状态有关。可以根据此假设用卡尔曼滤波法来估计状态变量及参数值。卡尔曼滤波是基于最小均方误差的递归优化算法，可以将时间序列问题作为状态空间模型来处理，系统根据状态方程变化，观测量是系统状态量的线性组合。模型通过前一时间的状态估计值与此时的观测值对当前系统状态值进行最优估值，实现递归估计过程，实质是重新建立系统观测量的值。

经第一次卡尔曼滤波分析，可以得到时间序列的平滑值。平滑是对时间序列从前往后修正估计值。采用整个时间序列信息对历史值进行重新估计。

（二）基于OLS与卡尔曼滤波的实证结果对比分析

1.描述性统计分析

表2显示公司债券利差（spread）、企业商品交易价格指数（cgpi）、工业品出厂价格指数（ppi）、股票市场指数（hs300）、债券综合指数（index）、违约因素（default）、期限因素（term）、公司规模因素（smbb）、账面市值比因素（hmlb）及债券年龄因素（age12）的描述性统计量。由各序列的JB值可知，index，default，term，hmlb与age12五个序列在10%置信水平均拒绝原假设，即这五个序列均为尖峰厚尾，非正态分布，但spread，cgpi，ppi，hs300与smb序列接受原假设，即序列服从正态分布。

2.最小二乘法回归分析

就宏观经济环境、资本市场、债券个体层面由宏观到微观的分析发现它们对公司债券收益率利差都有重要的影响。选择企业商品交易价格指数、工业品出厂价格指数代表宏观经济环境因素，股票市场hs300指数、债券综合指数、违约因素、期限因素、公司规模因素、账面市值比因素和债券年龄因素代表资本市场因素与债券个体层面因素。

从表3可以看出，R2=0.9640，接近于1，说明这些因素是影响公司债券收益率利差的主要因素，它们解释了公司债券收益率利差的绝大部分。企业商品交易价格指数在1%的置信水平显著，系数为20.2119，表明当企业商品交易价格指数变动一个单位，则公司债券收益率利差同方向变动20.2119个单位，与公司债券收益率利差正相关，与原假设相符。工业品出厂价格指数不显著，股票市场hs300指数不显著。债券综合指数系数为8.4864并在5%的置信水平显著，表明当债券综合指数变动一个单位，则公司债券收益率利差同方向变动8.4864个单位，与公司债券收益率利差正相关，符合原假设。违约因素系数为0.4044，在5%置信水平显著，表明当违约因素变动一个单位，则公司债券收益率利差同方向变动0.4044个单位，二者正相关，符合原假设。期限因素不显著。公司规模因素系数为0.7516，在1%的置信水平显著，表明当公司规模因素变动一个单位，公司债券收益率利差同方向变动0.7516个单位，二者正相关，符合原假设。账面市值比因素不显著。债券年龄因素系数为-0.2612，在1%的置信水平显著，表明当债券年龄因素变动一个单位，则公司债券收益率利差反方向变动0.2612个单位，二者负相关，符合原假设。对于不显著的因素，推测可能这些影响因素之间存在共线性，或者这些影响因素随时间而变化，并且他们存在一阶或者二阶滞后项。因此，用状态空间模型建立具有二阶滞后项的状态空间模型，然后用卡尔曼滤波法进行分析。

3.卡尔曼滤波分析

在用卡尔曼滤波进行分析时，采用两阶滞后的状态变量，但是分析过程中发现状态变量不存在两阶滞后，仅存在一阶滞后，对模型进行修正后重新进行分析，分析结果如表4所示。由表中结果可知，企业商品交易价格指数的系数为5.7728，在1%置信水平显著，与公司债券收益率利差正相关，接受原假设;工业品出厂价格指数的系数为2.0304，在1%置信水平显著，与公司债券收益率利差正相关，符合原假设。这两个因素都代表通货膨胀因素，通货膨胀因素与公司债券收益率利差正相关。当通货膨胀增加时，货币贬值，意料中的通货膨胀在合约中已规定，意料之外的通货膨胀会使消费支出增加，投资减少，公司面对的违约风险与信用风险增加，从而使得公司债券收益率利差增加。

hs300指数系数为-16.0599，在1%置信水平显著，股票综合指数与公司债券利差负相关，接受原假设，与国内外学者研究结果一致。股指hs300反映了经济发展情况，是指示经济发展情况的晴雨表，根据国外学者的研究，当股票市场综合指数增加时，经济情况好转，经济环境良好，此时企业发展面临良好的经济环境，其信用违约风险会大大降低，所以，公司债券利差降低。债券综合指数系数为0.1335，在1%置信水平显著，债券综合指数与公司债券利差正相关，接受原假设，与国内外学者研究结果一致。债券综合指数体现整个债券市场收益率情况，它与公司债券收益率是一致的，即当债券市场总体收益率增加，公司债券收益率整体上也是增加的，而国债是无风险利率，它基本保持不变。因此，公司债券收益率利差也会有所增加。违约因素系数为0.2664，在1%置信水平显著，违约与公司债券利差正相关，接受原假设，与国内外学者研究结果一致。违约风险是公司债券利差中很重要的一部分，尤其对于投机级别债券，投机级别债券信用级别低，违约风险很高，收益率也很高，当违约风险增加时，投资者会要求更高的违约风险溢价，因此，公司债券利差也会更高。但是在中国，政府对债券发行单位信用级别要求较高，在深交所和上交所发行的债券多为B级以上，迄今为止，中国仅有一家公司违约，且后期该公司债券的本息都将由担保公司继续给投资者发放，这也可以解释为什么违约风险溢价在中国公司债券利差中的比重不高。期限因素系数为0.5625，在1%置信水平显著，期限因素与公司债券利差正相关，接受原假设，与国内外学者的研究结果一致。债券期限因素是間接反映公司违约风险的因素，公司债券期限越长，其违约风险会越大，风险溢价会越高，公司债券利差会越高;相反，债券期限越短，违约风险会相对较小，风险溢价会较低，公司债券利差会较低。公司规模因素系数为3.3363，在1%置信水平显著，公司规模因素与公司债券利差正相关，接受原假设，与国内外学者研究结果相一致。SMB是剔除账面市值比因素后的公司规模因素。由公司规模因素系数可以看出，此因素是公司债券利差很重要的影响因素。公司规模越大其违约风险会越小，流动性风险也会减小，因此其公司债券利差会越小，这解释了为什么大公司发行的债券收益率相比小公司偏低。而小公司违约风险大，流动性风险也大，因此其公司债券利差高，这解释了小公司之所以发行高收益率债券的原因。账面市值比因素的系数为-0.4378，在1%置信水平显著，接受原假设，此结果与国内外学者实证结果一致。hml是剔除了公司规模因素的账面市值比因素，高B/M型公司为价值型公司，低B/M型公司为成长型公司。成长型公司一般发展迅速，还不成熟，面临较大的违约风险与信用风险，其收益率高，公司债券利差高;而价值型公司已发展成熟，有稳定的现金流量，面临的违约风险与信用风险小，但收益率较低，公司债券利差较低。债券年龄因素反映流动性风险，系数为-4.3917，在1%置信水平显著，债券年龄与公司债券利差负相关，接受原假设，与国内外研究结果一致。债券年龄反映流动性风险的大小。当公司债券流动性增加，流动性风险减小，流动性风险溢价减小，公司债券利差会减小;当公司债券流动性减小，流动性风险增加，流动性风险溢价增加，公司债券利差增加。

通过卡尔曼滤波分析本文分别估计出了企业商品交易价格指数、工业品出厂价格指数、hs300指数、债券综合指数、违约因素、期限因素、公司规模因素、公司价值因素与债券年龄因素的一阶滞后项系数。说明这些变量都是随时间而发生变化的，即存在时变性，并且这些变量存在一阶滞后项。卡尔曼滤波分析结果显著。

由图1可以看出公司债券利差随着时间逐渐递减，到23周时，跌至23周以来的谷底，随后略有回升，但是后面又继续下跌，公司债券利差整体是下跌的。图2表示根据当前观测值进行的一步向前预测，预测显示第13周公司债券收益率利差升之最高，随后在第14周回落，后面逐渐平稳，但是存在小幅波动，公司债券收益率利差整体下跌。一步向前预测与观测值图1相比，预测比较粗糙，预测效果一般。

四、结论

本文通过卡尔曼滤波法对交易所市场公司债券收益率期限结构进行分析，构建了N因素期限结构仿射模型。

采用卡尔曼滤波分析法对影响公司债券收益率利差的宏观经济因素、资本市场因素和债券个体因素进行了综合分析。分别采用最小二乘法与卡尔曼滤波法进行实证分析，研究发现最小二乘法进行回归时，部分因素不显著。

之后，采用卡尔曼滤波进行影响因素综合分析，发现所有均变量显著，并且这些影响因素随时间发生变化，他们都存在一阶滞后项。卡尔曼滤波分析结果显著，其结果符合预期，并且与前人的研究结果一致。因此基于状态空间模型的卡尔曼滤波法很适合对公司债券利差影响因素进行综合分析。

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