导数在经济学科中的应用

霍 奴 梅

(吕梁学院汾阳师范分校 数学系，山西 汾阳 032200)

数学作为自然科学中的一门重要学科，在各学科中一直处于较高的地位，历来受到科学研究人员的推崇，很多自然科学的规律都是通过数学的推导与计算而得出的，因而数学也在社会各个行业中有着十分广泛的应用.在经济学的有关理论中，以数学微积分中导数理论的应用最为广泛.导数作为微积分学科中的重要数学概念之一，从18世纪中叶被创造至今，其理论系统的日臻完善带来的是对更多科学概念的优化阐释.导数作为描述自变量与因变量变化规律的一个概念，可以应用于很多学科中：如将其应用于物理学中，可以描述物体时间与位移的变化率，即速度；将其应用于几何学中，则可以很好地解释斜率这一概念.而利用导数解释一些更为抽象的概念也成了近年来导数理论发展的方向之一.将导数应用于经济学中，可以很好地解释很多边际经济学的概念.本文即讨论导数在经济学中的应用问题.

1 导数的定义及其在经济学中的主要应用

导数作为微积分学科中的重要内容之一，其在经济学及企业经营活动中的应用主要体现在对企业经营活动资金的有效管理上.企业经营人员利用导数可以找到企业受益于产品的最优化处理方式，既可避免因商品价格过高造成的产品滞销现象，又可避免因商品价格过低而产生的商品经营效益不佳问题，从而保证企业经营活动长期处于高受益与良性发展的状态中.

2 导数在边际分析中的应用

2.1 在边际成本方面的应用

这个公式就是经济学意义上的边界成本定义的数学化表达，其文字表达是，在产品产量为x的情况下，增加1个单位的产量所需增加的成本总量.这也可以理解为总成本与产量的变化率.

通过上述公式及定义，再结合导数的基本概念，可以得出两条结论：

(1)边际成本的变化仅取决于可变成本的变化，固定成本的变化不会对其产生影响.

(2)当某一产品的边际成本小于其单品售价时，仍可以对这一产品进行增产处理；而当该产品的边际成本大于其售价时，则不宜采用增产的处理方式，而应选取其他的产量调控方式，如提高产品的质量，降低生产成本等[3].

例1 若某一产品在产量为x的情况下，总成本C(x)与产量x的函数关系为C(x)=x3-6x2+20x，求这一产品在x情况下的最小边际成本.

解 根据边际成本函数的定义可得，C′(x)=3x2-12x+20，若想求其最小值，只需求这一函数的导数零点即可，即C″(x)=6x-12=0，则求得该函数的唯一零点为x=2，所以其边际成本的最小值为C′(2)=3×4-12×2+20=8.

2.2 在边际收入方面的应用

2.3 在边际利润方面的应用

若L(x)表示的是在产量/销量为x的情况下的利润与x的关系，则根据经济学常识，有L(x)=R(x)-C(x)，对其两边求导得，L′(x)=R′(x)-C′(x)，L′(x)即为边际利润函数.

通常在经济学问题中，对边际利润函数的讨论主要以利用这一函数求得产品的最大利润为主.当产品处于最大利润状态时，有L′(x)=0，但它仅是利润函数取得最大值的条件之一.这是因为在函数的极值有关知识中，当某一函数的一阶导数有零点时，仅可说明函数在这一点时有极值，而无法确定其为极大值还是极小值，因此，若使利润函数在这一点上为最大值，则需L″(x)<0，此时利润函数即为最大值.当然，若某一函数在定义域内仅存在唯一零点，一般也可将其直接判定为最大值取值点.

例2 某食品厂生产一种食品的总成本函数与收入函数分别为C(x)=0.02x2+2x+100和R(x)=0.01x2+7x，(1)求出边际利润函数及这一函数在产量为200 kg，250 kg，300 kg时的值，并解释其中的经济学意义.(2)求出这一食品单日获得最大利润适宜生产的产量及最大利润值.

解 (1)因L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2+5x-100，则边际利润函数L′(x)=-0.02x+5，再将x=200,x=250及x=300分别代入，求得L′(200)=1,L′(250)=0,L′(300)=-1.

这三个数值的经济学含义为：当每日产量为200 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量将增加1元；当每日产量为250 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量将不会变化；当每日产量为300 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量反而会减少1元.

(2)若求该食品的最大利润值，则应令L′(x)=-0.02x+5=0，求得x=250.又因L″(x)=-0.02<0，则可判定x=250时，L(x)取得最大值，最大值为L(250)=-0.01×2502+5×250-100=525，即该食品单日最大利润为525元.

3 导数在弹性分析中的应用

3.1 经济学中弹性的含义

3.2 需求弹性的含义

根据经济学原理，商品价格上涨一定幅度时，其市场需求量将会有所下跌，需求函数通常呈现随价格增大而减小的趋势，因此εp的值通常为负值.所以在经济学研究中通常采用的是其绝对值|εp|，即一个商品的需求弹性较大时，表明其绝对值较大.

需求弹性对商品需求量与商品价格变动关系的经济学表达如下：

(1)若εp=-1时，商品需求量的变化情况与商品价格的变化情况相等，称为单位弹性.

(2)若εp<-1时，商品需求量的变化情况比商品价格的变化情况更加明显，称为高弹性.

(3)若εp>-1时，商品需求量的变化情况不如商品价格的变化情况明显，称为低弹性.

3.3 在商品需求弹性与总收益关系中的应用

在商品的销售过程中，企业最为关注的是价格变化会给收益带来的影响.设商品销售总收益为R，则有R=Qp.若此时对价格进行Δp的改变，则有

因此，当产品处于高弹性状态时，总收益的增加可以通过价格降低来实现，此时较少的利润将会带来较高的销量，从而使企业获得更高的利润.

当产品处于低弹性状态时，总收益的增加可以通过提高价格来实现，此时，就不应该选择产品低价路线，否则会适得其反，使总收益值降低.

当产品处于单位弹性状态时，价格的变动对于商品总收益的影响几乎为0，此时，提高价格或降低价格均不是提高总收益的理想方式，企业应选择其他方式来提高总收益[8].

(2)当p=3时，εp=-0.75>-1，此时商品处于低弹性状态，即商品价格每上涨1%时，商品的市场需求量下跌0.75%，说明此时提高价格将会增加商品的总收益.

当p=4时，εp=-1，此时商品处于单位弹性状态，即商品价格每上涨1%时，商品的市场需求量会下跌1%，说明此时提高价格与否将不会对商品总收益产生明显的影响.

当p=5时，εp=-1.25<-1，此时商品处于高弹性状态，即商品的价格每上涨1%时，商品的市场需求量将会下跌1.25%，说明此时提高价格将会降低商品的总收益.

4 结语

人类社会发展至今，商品的大量流通成为社会发展的重要动力之一，而由这些商品交换构成的经济活动也逐渐由一种人类活动发展为理论学科.利用导数对这些经济活动进行研究，不仅有利于经济活动参与者获得更高的经济收益，同时还能为其长期良性地处于经济活动范围内提供保障.在很多经济学理论中，都需要利用数学工具进行大量的推导，以表明其研究结论的真实、可信，这就对经济学科的相关人员提出了新的要求，即要在掌握经济理论知识的同时，夯实数学基础，使数学成为进行经济分析的得力工具.