运用拉密定理处理动态平衡问题

2019-08-05四川

教学考试(高考物理) 2019年4期

四川

拉密定理是高中数学中常用的解题方法，在高中物理问题中虽然使用程度不高，但有时却很简便。动态平衡是高中物理平衡问题中的难点，处理方法一般有：解析法、矢量三角形法、相似三角形法。笔者尝试通过2017年高考题的分析和说明，归纳整理出解决动态平衡的第四种方法——拉密定理法。

1.高考真题

图1

( )

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

1.1 标准解答过程

图2

重力的大小和方向不变。OM和MN拉力的合力与重力是一对平衡力。如图2所示，刚开始时，OM拉力等于重力，从图中的两种情况可以看出，OM的拉力先大于重力，后小于重力，所以OM先增大后减小；而拉力MN一开始为零，从图中可以看出，MN拉力一直在增大。故选AD。

1.2 拉密定理解答过程

图3

图4

1.3 对比两种解答方法

(1)标准解答的优劣

标准解答通过作图法，根据mg不变，找到平行四边形的对角线长度不变的规律，通过作出不同角度的矢量三角形，寻找FOM和FMN的图示线段长度的变化，找到FOM和FMN的变化情况，如图5所示，但由于作图要求较高，学生很难在考场上有限时间内作出准确的图示，找出力的变化关系，不利于提高学生的得分能力。

图5

(2)拉密定理解答的优劣

拉密定理解答需要满足一定的条件，适合在三力平衡作用下使用，需要满足其中一个力的大小方向都不变(如本题中的重力)且其对应的角度(角度的正弦)保持不变；其数学表达式简单，数学讨论过程中，利用比值不变，讨论另外两个力对应的正弦值如何变化，如果两个角靠近90°，则力变大，远离90°，则力变小。该方法具有普遍适用性，学生在考场中，短时间内能够得出表达式，通过数学讨论得出正确选项，提升学生的得分能力。

总而言之，拉密定理法适合高中学生使用，具有普遍性和可迁移性，是解决动态平衡问题的重要方法。若力的三角形中存在直角，可用解析法求解；若存在一个力大小方向都不变，一个力方向不变，可用图解法；若存在一个力大小方向都不变，另外两个力方向均变化，可用相似三角形法；若存在一个力大小方向都不变，且该力对应的夹角(正弦)保持不变，可用拉密定理法。

2.两个基本变式

变式训练1

如图6所示的装置，用两根细绳拉住一个小球，两细绳间的夹角为θ，细绳AC呈水平状态。现将整个装置在纸面内顺时针缓慢转动，共转过90°。在转动的过程中，CA绳中的拉力F1和CB绳中的拉力F2的大小发生变化，正确的是

( )

A.F1先变小后变大 B.F1先变大后变小

C.F2逐渐减小 D.F2最后减小到零

图6

图7

变式训练2

半圆柱体P放在粗糙的水平面上，有一挡板MN，延长线总是过半圆柱体的轴心O，但挡板与半圆柱不接触，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，如图8所示是这个装置的截面图，若用外力使MN绕O点缓慢地顺时针转动，在MN到达水平位置前，发现P始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是

( )

A.MN对Q的弹力逐渐增大

B.地面对P的弹力逐渐增大

C.P、Q间的弹力先减小后增大

D.Q所受的合力逐渐增大

图8

图9

【总结】

通过变式，我们可以发现，只要满足存在一个力大小方向都不变，且该力对应的夹角(正弦)保持不变，则用拉密定理法，可以快速准确地处理动态变化问题，可以有效地提高学生的得分能力。物理学科是一个有条件限制的学科，学生欲使用这种方法，需要理解该方法的使用条件，只有理解了使用条件，才能有效地通过训练提取方法，学会变式，应对高考。如何在高三一轮复习中，让学生有所感悟，方法的提炼和升华是必不可少的，通过这样的小专题，可以让我们的学生做到举一反三。

3.方法升级

拓展训练1

( )

A.小球b的机械能守恒

B.悬线OE的拉力先增大后减小

C.悬线OC的拉力先增大后减小

D.小球b受到的库仑力大小始终为3mg

图10

【解析】对小球O进行受力分析如图11所示，由于小球受到四个力的作用，不再满足拉密定理的适用范围，此题看似不能用拉密定理处理。分析题目满足的几何关系，由于OE、OC距离不变，故α保持不变，其对应的力为重力，重力的大小方向都不变，符合存在一个力大小方向都不变，且该力对应的夹角(正弦)保持不变的条件，要符合拉密定理的基本要求，需要化四个力为三个力。由于重力的大小方向都不变，∠BOE和∠BOC也不变，故重力引起的OE和OC拉力均不变，故可以不考虑重力的影响，只考虑库仑力FOA的影响。

图11

图12

拓展训练2

如图13所示，带正电的小球a由绝缘细线OC和OE悬挂处于静止状态，其中OC水平，OE与竖直方向夹角为45°。水平地面固定一平行于OE的绝缘杆，且杆的底端在小球a正下方，顶端与小球a等高。现将套在杆上带负电的小球b从顶端缓慢移到底端的过程中，小球a始终保持静止，小球a、b均可视为点电荷。则下列说法正确的是

( )

A.小球b在底端和顶端的电势能相等

B.整个过程中，OE绳中的张力先增大再减小

C.整个过程中，OC绳中的张力先减小再增大

D.小球b在底端和顶端时，OC绳中的张力相同

图13

图14

【解析】对小球O进行受力分析如图14所示，分析同拓展训练1。分析题目满足的几何关系，由于OE、OC距离不变，故α保持不变，其对应的力为重力，重力的大小方向都不变，符合存在一个力大小方向都不变，且该力对应的夹角(正弦)保持不变的条件，要符合拉密定理的基本要求，需要化四个力为三个力。由于重力的大小方向都不变，∠BOE和∠BOC也不变，故重力引起的OE和OC的拉力均不变，故可以不考虑重力的影响，只考虑库仑力FOb的影响。