基于约瑟夫森结的微波QUBIT

段可欣

(中国电子科技集团公司第三十九研究所 陕西省天线与控制技术重点实验室，陕西 西安 710065)

0 引 言

1961年，英国物理学家约瑟夫森的理论研究表明：两块超导体通过绝缘体薄层连接起来组成一个夹层结构，当中间的绝缘层厚度为大约10Å -20Å时，如果给夹层两边的超导体加一个电压，该结构中会出现一些新奇的现象：超导体中的库珀电子对会穿过绝缘体进入夹层另一边的超导体。这就是著名的超导电子对隧穿效应，也叫做约瑟夫森效应。

1 约瑟夫森结

1.1 概述

两块超导体夹一层薄绝缘材料的组合称S-I-S超导隧道结或约瑟夫森结。约瑟夫森结断面图的结构如图1所示：它由超导体S1、绝缘层I和超导体S2组成一个夹层结构，中间的绝缘层厚度为大约10Å-20Å。

图1 约瑟夫森结的结构示意图

1.2 约瑟夫森结的基本方程

约瑟夫森结基本方程分别是指通过结的电流密度与结两侧超导体的量子相位差的关系以及通过结两侧的电压与结两侧量子相位差的关系[5-9]。

通过约瑟夫森结的电流密度和约瑟夫森结两侧的超导体的量子相位差的关系为：

Is=Icsinθ

(1)

式中Is是约瑟夫森电流密度;Ic是约瑟夫森电流密度的极大值;θ是两块超导体波函数之间的相位差。而量子相位差和通过约瑟夫森结两侧电压的关系为：

(2)

根据自感系数的定义V=LJdl/dt可得电感系数为：

(3)

1.3 约瑟夫森结的伏安特性

测量约瑟夫森结的伏安特性时，常用直流电表或者低频电表，他们对高频电压及电流关系无反应，其指示值为节电压和节电流的时间平均值。这个平均电流和平均电压之间的关系叫做约瑟夫森结的伏安特性。

I-V特性曲线的形状取决于约瑟夫森结和电源内阻，对于同一个约瑟夫森结，采用恒流源和非恒流源得到的I-V特性曲线很不相同，由于约瑟夫森结的电阻一般只有0.01～10 Ω，通常远小于电源内阻，因此电源更接近恒流源，也是常用的电源形式，图2显示的是恒流源无回滞伏安特性曲线。

图2 约瑟夫森结的伏安特性

2 量子QUBIT分类

2.1 QUBIT概述

基于约瑟夫森结的超导QUBIT原理图、等效电路和势能关系曲线如图3所示。图中约瑟夫森结在超导电路里的作用相当于一个结电感和结电容构成的非线性共振器，这种非线性使得约瑟夫森的能级间隔不均匀，若电磁参量选择得当，可使约瑟夫森结简化为一个有效的二能级系统。

图3 超导QUBIT原理示意图电流偏置的约瑟夫森结电路(左)、等效电路(中)和有效的势能关系曲线(右)

共振的非线性意味着约瑟夫森结的能级是可以调节的，只要采用适当的辅助电路 (实验上在mK温度下操作)，就可以使最低的两个能级与其他能级完全分离。因此, 由介观约瑟夫森为主要元器件, 可以建构出多种超导量子比特 (QUBIT)。

通常超导QUBIT分为三种类型：超导电荷QUBIT(Superconducting Charge QUBIT)，超导磁通QUBIT(Superconducting Flux QUBIT)和超导相位QUBIT(Superconducting Phase QUBIT)。

超导QUBIT类型的划分依据是约瑟夫森耦合能EJ和静电库伦能EC的比值。如果EJ/EC～0.1，则该超导QUBIT为超导电荷QUBIT；如果EJ/EC～10，则该超导QUBIT为超导磁通QUBIT；如果EJ/EC～106，则该超导QUBIT为超导相位QUBIT。

除了以上常见的这三种超导QUBIT，还有一些经过了改良设计的超导QUBIT，如超导Fluxonium、超导Xmon、超导transmon以及超导gmon等[10-13]。

2.2 几种常见QUBIT 性能分析

2.2.1超导电荷QUBIT

最简单的超导电荷比特也被叫做库珀对盒 (Cooper-pair box)，是由约瑟夫森结和n个很小的超导岛组成的超导电路，超导岛的一端通过约瑟夫森结(约瑟夫森耦合能EJ，结电容CJ)与外界电极相连，另一端通过一个门电容(Cg)与门电压(Vg)相连构成回路。其结构如图4(a)所示：

图4 超导QUBIT示意图

库珀对盒的哈密顿量为：

H=4EC(n-ng)2-EJcosφ

(4)

式中：φ为约瑟夫森结两端的相位差，n为超导岛上的库珀对数目，EC和EJ分别为充电能和约瑟夫森耦合能，ng=CgVg/2e，CJ与Vg为门电容与门电压，ng无量纲，它描述门电压的效应，是一个控制参量。

在图4 (a)的基础上，将单个约瑟夫森结换成由两个约瑟夫森结构成的超导环，这个超导环可以被看成是一个DC-SQUID，同时在这个DC-SQUID 之上加上磁通量Φe，这个磁通量可以通过加在超导环正上方上的载流线圈加入，如图4 (b)所示。如果这个超导环的自感非常低，这个可控的SQUID的哈密顿量中的势能变为：

(5)

(6)

上式是随外面的磁通量的变化而变化。可以看出这个改进结构的哈密顿量的有效的磁场两个分量Bx和Bz都是可调控的，外面磁通量的可以改变Bz，门电压可以改变Bx。这样通过电压和电流的调整，我们可以实现沿着x轴和z轴方向的旋转操作，从而实现任意的单比特旋转。在大多数情况下，我们只让Bx和Bz中一个发生作用，决定这些操作的是它的包络对时间的积分，因此通过选择这些包络可以优化速度和简化操作。

超导电荷QUBIT的优点是它对磁场的涨落不敏感，缺点是环境中的电荷涨落对它的相干时间影响很大，通常是设计较大的门电容和结电容来减小充电能，从而降低电荷噪声的影响。

2.2.2超导磁通QUBIT

将若干个约瑟夫森结放置在闭合的超导环路中，也就是DC-SQUID或RF-SQUID，并对超导环路施加外部磁通φx,就构成了一个超导磁通QUBIT。在这些系统中，有持续的电流和磁通量，其中最简单的设计就是RF-SQUID。如图5(a)所示，约瑟夫森结两端的相位差φ与超导环中的磁通量φx之间的关系为φ/2π=φ/φ0+n，其中n为整数。若加入一个外磁通量，此时这个系统的哈密顿量Η由约瑟夫森耦合能量，自感能量以及电荷能量三部分构成。

(7)

这里L为环的自感系数;CJ为结点容。

图5 磁通QUBIT示意图

如果用一个DC-SQUID代替约瑟夫森结，如图5(b)所示，就可以调节EJ的大小，此时像超导电荷QUBIT一样，任意的单比特操作都可以实现。为了保证相干操作的发生，参量βL 必须比1 大，此时两个双势阱有定义较好的态出现，但是不能比1 大很多，因为这样会导致隧穿抑制。

超导磁通QUBIT的优点是它对环境中的电荷噪声也不敏感。而且超导磁通QUBIT没有引线和测量设备相连，更容易将其与环境隔离，因此能够得到较长的相干时间。缺点是它对磁场的涨落非常敏感。

2.2.3超导相位QUBIT

超导相位QUBIT的结构是由一个约瑟夫森结连接一个电源构成，如图6(a)所示。电源产生的偏置电流通过这个回路会产生一个形似搓板式的势场，其势能为：

(8)

其中Ie为偏置电流，势场本身与cosφ(φ为结相位)成比例。

在超导相位QUBIT中，EC≪EJ，此时相位是一个确定的值，而库柏对的数目则处于完全不确定状态。它的哈密顿量可以被描述为：

(9)

从量子力学角度看，粒子由于隧穿效应不可能被势阱完全束缚，但是如果粒子的能量接近势阱的底部，这种隧穿可以忽略不计。

图6(b)为电流偏置的约瑟夫森结势阱中的量子化能级。在低温下，超导相位QUBIT的能级是量子化的，但不是等间距的，我们可以通过调节偏置电流来改变势阱的深度来得到超导相位QUBIT所需要的两个最低能级|0>，|1>。

图6 相位QUBIT示意图

超导相位QUBIT的优点是对磁涨落和电荷涨落都不敏感，且结构简单。缺点是它有引线连接到测量仪器上，因此需要特别的电路设计才能使它与环境隔离。此外，1/f 噪声对相位QUBIT的相干时间有较大影。

2.3 QUBIT间与CPW负载腔的耦合及微波单量子探测

通常超导比特用来和超导谐振腔系统耦合。就其耦合方式来说，超导电荷比特通常是通过电场和腔直接耦合，超导磁通比特通常是通过感应磁场与CPW腔耦合，超导相位比特通常也是通过电容和腔直接耦合。

据报道，有研究团队通过两个CPW腔连结一个耦合transmon比特，已经实现了对单个微波光子的量子非破坏性测量。对于实现微波单量子探测的目的来说，这个实验为微波单量子探测开辟一条新的路径，利用QUBIT与CPW负载腔耦合实现微波单量子探测是很有前途的研究方向[14-18]。

2.4 QUBIT测量中常见的误差来源

在QUBIT构成的电路的测量过程中，常见误差来源通常有以下几种：

(1)控制电流。QUBIT 状态完全可以通过控制电流来操纵，但是控制电流的噪音会使信号产生离散分布；

(2)磁噪声。磁噪声通常来源于约瑟夫森结上的绝缘体和氧化物中两能级间的波动；

(3)热噪声。QUBIT电路工作在mK温度区间，良好的绝热系统对于减少热噪声对QUBIT电路的影响十分关键；

(4)底物。约瑟夫森结的硅基底物对于信号离散也会产生影响，可以选择更好的底物，比如蓝宝石和15 kΩ的单晶硅片等；

(5)磁力计的反作用。磁力计的反作用是信号离散的另一个可能的来源。测量时隧穿电压的出现类似于创造了一个准粒子，它破坏了QUBIT的状态。

以上这些因素是QUBIT电路设计过程中需要特别注意的地方。

3 结 语

本文介绍了约瑟夫森结的量子特性和由其构成的超导QUBIT的种类及性质,对于在微波单量子探测领域的应用进行了初步的设想。