直线交圆并不难，勾股关系来帮忙

吴志鹏　陈玉兰

摘要：本文通过举例说明利用圆内勾股关系解有关直线的斜率，直线的方程以及圆的圆心半径、弦长、周长、面积、最值等问题的方法.

关键词：直线;圆;相交;勾股关系

直线与圆相交，涉及到直线以及圆的有关知识，而联系这两个知识则是弦心距、半弦长以及圆的半径所构成的直角三角形，用勾股关系可将几何问题代数化，运用“数”研究“形”.用这样的关系可解决包括直线的斜率、直线方程、圆的圆心、半径、弦长、周长、面积、最值等问题.令弦心距为d，半弦长为m，圆的半径为r，则有d²+m²=r²，本文把这样的关系称为圆内的勾股关系.

1 利用圆内勾股关系求与直线相关的内容

例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知以

评析 直线的斜率和坐标轴上的截距是直线方程的重要特征，利用圆内勾股关系，建立与斜率或截距相关的等量关系，转化为方程进行求解，

评析 圆心和半径是圆的关键特征，它确定了圆的大小和位置，半径和圆心距都是圆内的勾股关系的构成要素，利用之即可有效解决圆的方程、圆心或半径等相关内容.

评析 求弦长的方法比较多，可利用两点间的距离公式、弦长公式和圆内勾股关系进行求解，但利圆内勾股关系求半弦长进而求得弦长，简单方便能较大幅度地减少运算量，是求弦长的首选方法，

迁移 当直线与圆相交变成直线与圆相切，此时半径、切线长以及圆外的点到圆心的线段仍能构成直角三角形，同样可用勾股关系解决相关问题.

评析 当直线与圆相切时，此时相当于把过点P的圆的割线拉到与圆只有一个交点的极限位置，那么原来弦的中點和直线与圆的两个交点就融合成一个点，此时圆心与弦的中点的连线变成了圆心与切点的连线，其垂直关系仍然存在，类似的勾股关系也是存在的.