重复观测平差的一种新算法

邓永和

(丽水学院，浙江丽水 323000)

单位权中误差公式为[1-4]

(1)

或

(2)

绝大多数文献按式(1)计算单位权中误差，如文献[10-19]等。E(VTPV)表示VTPV的理论平均值，而不是某一次的VTPV，故由式(1)计算单位权中误差是不严密的，以此为基础的参数方差阵也是不严密的。文献[5]基于χ2统计量，按每次平差所得的VTPV计算单位权中误差。但是，它没有研究所得的单位权中误差与传统方法单位权中误差的理论关系，也没有研究未知数参数X及方差阵在两种方法中是否存在理论关系。

为此，提出有别于文献[5]的新方法，并研究所得的单位权中误差与传统方法单位权中误差的理论关系，也研究了未知数参数X及方差阵在两种方法中的不同，并用模拟算例做了验证分析。

1 新方法思路

这里的单位权中误差是重复观测中任意一次观测值的单位权中误差，而不是常规方法多次观测平均值的单位权中误差。若需要求常规方法多次观测平均值的单位权中误差，只需根据重复观测中任意一次观测值的单位权中误差，按误差传播定律进行计算即可。

对于未知参数X，可根据每次观测值按间接平差计算，再取平均值。

2 新方法与传统方法的理论研究

2.1 新方法计算

(3)

未知数估值为

(4)

每次的单位权中误差估计值为[2]

(5)

每次的单位权方差估值的数学期望和方差满足[2，3]

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

新方法单位权方差的数学期望和方差为

(11)

(12)

由式(6)和式(11)，可得

(13)

由式(7)和(12)，可得

(14)

由式(13)和式(14)可知，计算单位权中误差估值时，式(10)要优于式(5)。

对式(4)取平均值，得未知数X的最终估计值

(15)

(16)

(17)

由式(16)和式(17)可知，计算未知数估值时，式(15)要优于式(4)。

2.2 传统方法(旧方法)计算

(18)

可以证明

(19)

(20)

而单位权中误差为

(21)

再参考文献[2，3]可得

(22)

(23)

而参数X的数学期望及方差阵估值为

(24)

(25)

2.3 新方法与传统方法(旧方法)的理论关系

(1)单位权中误差估值的理论关系研究

显然，式(10)和(21)计算出的单位权中误差不会相等。下面从理论上证明新旧方法单位权中误差的近似函数关系，有

(26)

故单位权中误差为

(27)

式(27)与式(10)比较可知

(新)

(28)

这就从理论上证明了新旧方法单位权中误差是近似相等的。

此外，由式(6)和式(15)可知：新旧两种方法的单位权方差估值都是无偏估计；由式(7)、式(16)和式(21)可知，新方法单位权方差的方差较优(前者是后者的近1/m)，再考虑新方法选择多次观测所得VTPV的平均值代替E(VTPV)。因此，可认为由新方法计算单位权中误差更好。

(2)新旧方法未知数参数X估计值的理论关系研究

由式(8)和(13)可知：新方法和传统方法(旧方法)计算出的参数X估计值是相等的，即

(29)

3 模拟算例分析

以文献[2]数据为基础，所列观测高差假设为第1次观测值，再假设存在另外2次相同权阵的虚拟重复观测值(见表1)。

表1 虚拟观测数据

3.1 新方法计算

第1次观测值，取10 km观测高差为单位权观测，则有

VTPV=1 189.856(mm)2

第2次观测值，取10 km观测高差为单位权观测，则有

VTPV=985.902 2(mm)2

第3次观测值，取10 km观测高差为单位权观测，则有

VTPV=2 499.434(mm)2

3.2 旧方法计算

令10 km观测高差3次观测为单位权观测，则可求出

VTPV=1 460.858 98(mm)2。

3.3 新旧方法计算比较

(1)两种方法所得未知数X估值相等，这与前面的理论推导一致。

(2)两种方法所得未知数X的方差阵近似相等，这与前面的理论推导也一致。

(3)两种方法单位权中误差也是近似相等的，这与前面的推导也一致。

(4)两种方法单位权方差的方差之比接近1/m，与理论也是一致的。

4 结束语

(1)从多次观测的VTPV平均值代替E(VTPV)这个角度来看，新方法单位权中误差公式的理论更严密，证明了新方法的单位权方差也是无偏估计，新旧方法单位权中误差近似相等(但含义不一致，数字近似相等)，新方法单位权方差的方差是旧方法的近似1/m。

(2)证明了新方法未知数X的估值也是无偏估计，新方法未知数X方差阵与旧方法近似相等。新方法未知数X的相关计算，等于或优于旧方法的相关计算。

(3)模拟算例验证了新方法的可行性和有效性，比较了新旧方法的计算效果，所得结论与理论分析基本一致。