单侧检验的一个逻辑严密问题研究

俞雪梨

摘要：假设检验有双侧检验和单侧检验之分，实际应用的过程中，通常把假设检验的实施流程化，而没有去深究实施流程逻辑上的严密性。文章研究了单侧检验中的这个逻辑问题，使得单侧检验的实施流程更加严密。

关键词：假设检验；单侧检验；逻辑严密

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）31-0195-02

一、假设检验的基本流程

高等金融类院校和工科院校均开设了“统计学”这门核心课程，其中假设检验由于广泛应用于金融、生物技术、教育学、心理学等多个领域，因而备受重视，与此同时，该部分内容涉及比较深的统计思想，因而也是教学中的难点。为了降低学生学習的难度，在教学过程中，通常把假设检验的流程程序化和步骤化，一般总结为以下几个步骤。

第一步：提出原假设H和备择假设H；第二步：确定检验统计量；第三步：根据显著性水平，确定拒绝域；第四步：计算检验统计量的实现值；第五步：验证第四步检验统计量的实现值是否掉入拒绝域，得出结论。

下面用一个例子来说明这五个步骤的实施。

例1：某大学所有学生都拥有手机，一年前，所有学生每月的手机话费支出的均值为100元。一年之后的现在，从该校所有学生中随机抽取100名同学进行调查，发现他们每月的手机话费支出的均值为110元，标准差为30元。据此，在显著性水平为α=0.05下能否认为所有学生每月的手机话费均值已不同于一年以前？

解：第一步：依题意，如果用μ代表现在所有学生每月话费的均值，一年前话费均值μ=100元，原假设为H：μ=μ=100，备择假设是原假设的对立面，即为H：μ≠100元。第二步：考虑到总体标准差σ未知，并且样本容量很大，使用z=N（0，1）作为检验统计量。第三步：当X的值太大或者太小，与检验值100差距很大时，是小概率事件，此时检验统计量

Z=～N（0，1）将会是一个很小的负数或是一个很大的正数，结合显著性水平α=0.05，说明这两块区域的面积加起来要等于0.05，查正态分布的分位数表可得，右边的分位点为1.96，由于对称性，左边的分位点为-1.96，即拒绝域为z>1.96或z<-1.96（如图1）。第四步：将样本数据及原假设成立时μ=μ=100代入计算检验统计量的实现值，得z===

3.33。第五步：由于3.33>1.96，掉入右侧拒绝域，因此拒绝原假设H，认为现在该校所有学生每月话费的均值已不同于一年以前的100元。

二、单侧检验中存在的问题

例2：在例1中，抽取到的这100名学生每月的手机话费支出的均值为110元，比一年前所有学生每月手机话费均值100元是有所提高的，一个很自然的问题是，在显著性水平为α=0.05下，能否认为所有学生每月的手机话费均值比一年以前有显著的提高？

解：第一步：显然这是属于单侧假设检验问题，原假设为H：μ≤100元，备择假设为H：μ>100元。第二步，检验统计量仍然为z=N（0，1）。第三步：原假设是H：μ≤100，样本均值反映了总体均值的真实情况，当的值太大，比检验值100大很多时，是在原假设成立时不太可能发生的小概率事件，此时依据小概率原理，我们将得出拒绝原假设的结论。因此拒绝域只在右边，考虑到显著性水平为0.05，查表得临界值为1.6449，拒绝域为z>1.6449。第四步：代入计算得检验统计量的实现值z===3.33。第五步：由于3.33>1.6449，掉入拒绝域，拒绝原假设H，即可以认为现在该校所有同学每月话费的均值比一年以前的100元有显著的提高。

大家在使用上述步骤时，几乎是“天经地义”，没有谁去质疑它的逻辑严密性。问题出在哪里呢？在第四步中，在原假设成立的时候，计算检验统计量的实现值，为什么代入μ=μ=100进行计算呢？事实上，原假设μ≤100中μ不仅可以等于100，还可能是≤100的任何一个值。为什么只需要代入端点值μ=100进行判断就可以了呢？

三、单侧检验中逻辑问题的解决

事实上，在做假设检验时，把需要收集证据验证的假设放在备择假设的位置上，要求在得出备择假设是对的结论（即拒绝原假设）时，要有足够的证据（小概率事件发生了）。由于检验统计量z=是一个关于μ的递减函数，因此当μ=μ=100算出的检验统计量大于拒绝域，从而得出拒绝原假设的结论时，把μ<100代入计算得到的检验统计量将更大，就一定会掉入拒绝域中，同样能够保证拒绝原假设时证据的充分性。因此，在进行单侧检验的时候，计算检验统计量的实现值时只需把端点的值代入计算。

因为pπ<<π，pπ0，因而Z′（π）<0，因此Z（π）是一个单调递减函数，这就保证了在总体比例的单侧检验中，假设检验流程的第四步，可以使用原假设的临界点代入计算检验统计量的实现值。

参考文献：

[1]丛凌博.假设检验的启发式教学方法研究[J].价值工程，2012，（6）：273.