人类利用质数保护自己

沈叶华

我在上一篇科普小品《质数冥冥中保护着“周期蝉”》（见本刊2019年第2期）谈到一个有趣的生物现象，虽然“周期蝉”天敌无数，但它能从上百万年世世代代活下来，它生存本能的“质数周期法”这个杀手锏功不可没。质数与其他合数、奇数、偶数、整数、自然数、完全数等砌起数学的殿堂，质数更是数学殿堂的特殊石砖。那么，质数特殊在哪里？我们玩个小游戏来看看。

假如我们有7个苹果，怎样把它们摆放开来？我们可以这样摆：

无论怎样，都无法把7个苹果摆整齐，都无法把它们平均地排列（总有一个冒出来），因此我们说：7是质数。但如果我们有1 2个苹果，我们可以这样摆：也可以这样摆：

至少有一种方法能把12个苹果平均地排列，因此我们说：12不是质数，是合数。看明白质数与合数的区别吗？质数是个体，不可平均分割;合数是组合，可以整齐地分切。

因此说，合数是质数与质数的乘积，合数全由质数产生。

2×2×7=28

2×17=34

2×2×2×2× 3= 48

2×2×3×5= 60

5×31=155

2，3，5，7，1 7，3 1不都是质数？28，34，48，60，1 55不都是合数？大家找一找，算一算，有哪一个合数不是数个质数的乘积？

如果将质数、合数比拟为食物，质数像食材，如鸡蛋、猪肉各是一种原材料（质数），鸡蛋不能分解为“鸡”+“蛋”，猪肉不能分解为“猪”+“肉”;相对地，合数像菜式，如鸡蛋饺，就是用鸡蛋浆裹着猪肉末煎炸出来的（合数）。

我们知道，奇数、偶数在数轴上排队，一前一后，互相穿插，很有规律。质数藏身数轴中，要找出它，就像在广袤的森林里要找出你所需的树，得一棵棵去找。下圖黄色的为质数，看看：它们有时聚在一块，有时离得远远的，相隔的距离像很随意。

那么，质数在数轴上的分布有规律可循吗？从公元前300年起，人类一直孜孜不倦地寻找质数的分布规律，至今仍未发现。

因此，发现新质数仍是件费时费力的苦差事——即使今天有了电脑，有了互联网，有了搜索质数的专业软件——特别是随着质数趋向无穷大，它们分布得越来越稀疏。

比如，已知的最大质数：2 77232917-1=467 333 183 359 231...730 618 069762 1 79 0 7 1，共有2 3 249 425位，也就是说，如果中间不省略，要写多长？写满9000页纸，约9套《红楼梦》书那么厚。这个质数是一位美国数学发烧友花了14年业余时间，在2018年年初发现的。

人类至今既未发现找质数的快速方法，也未发现整数分解的简捷办法，如此一来，检验一个大数是质数还是合数，就非常费劲了。在1536年，人们以为267-1是质数，直到1903年，才分解出它的因子，证明它是合数：

267-1= 147 573 952 589 676 412 927= 761 838 257 287×1 93 707 72 1

分解267-1足足花了3个多世纪。

质数呀质数，人类研究你已有2 300年，但至今好像仍只看到你的表象，未能完全揭开你的面纱。

人类毕竟是万物之灵，虽对质数的学问还未穷尽，但懂它多少就利用它多少吧，快让它为我们效劳，这没说的。

那就让质数管管我们今天的腰包吧。可能你会说，不懂得质数又如何，还不是一样晓得掏腰包买东西？但当今此言差矣。

现在我们进行网购，在电脑上输入银行卡号，为什么它不会被黑客盗走？因为经过了电脑的加密与网站的解密。电脑用什么加密，网站用什么解密？两个质数、一个合数：这两个质数的乘积正是这个合数，例如：N =pxq，N是合数，p和q是质数。

我们输入银行卡号，电脑用合数（N）和银行卡号掺合一起，然后发送出去，网站收到这堆混乱信息后，用质数（p和q）进行分解，读出银行卡号。也就是说，必需使用p和q才能分解N，才能解读原信息。这样一来，即使信息在传送途中被黑客盗走，黑客没有p和q，无法分解N，也就无法读取银行卡号。

黑客不会自己动手分解N吗？这就是前面提到的：人类至今未掌握合数分解的简捷办法，仍在使用笨方法。例如：分解合数5609，求出它的两个因子，就没有直接求得的方法，只能从2开始除，5 609÷2=？ 5609÷3=？ 5609÷5=？……一个个数除上去，一直除到71 （5609÷71=79） 5609才能被整除，才分解出它的两个因子：71和79。

7 1和79不过区区两位，网络加密使用的是数百位、上千位的大质数。为什么是大质数？质数越大，它们被黑客强力分解出来的难度也越高。看看，下面这个合数共617位，是两个质数的乘积，要将它们分解出来？想想就令黑客望而却步了。

这就是保卫着网络通信安全的门神大将：RSA加密算法及其工作原理。RSA加密算法是3位美国数学家在1977年创立的。我们今天之所以能信任互联网：浏览网页，不担心信息被黑客删改;进行网购、电子商务，不操心钱被偷走，资金被转移……多亏了RSA加密算法的严防死守，牢不可破。再细细想：RSA的防守武器不正是利用质数分布的随意性，大质数难以被分解出来这些个大特性吗？