一种非完全约束磁悬浮轴承的建模

张晓,黄强,耿雪霄

(1.九江学院 机械与材料工程学院，江西 九江 332005;2.广西科技大学鹿山学院 机械工程系，广西 柳州 545616)

主动磁悬浮轴承具有无需润滑，无机械磨损，转子转速高，可在真空和极端温度下工作等优点。在常规的磁悬浮轴承系统中，悬浮对象的5个自由度均被可控电磁力约束，以实现稳定支承，剩下1个自由度为功能运动的需要，如磁悬浮转子系统中转子的旋转运动，磁悬浮列车车身的直线运动，精密磁悬浮定位系统中平台的进给运动，这些运动由旋转、直线电动机或者其他驱动器来驱动。然而，在实际应用中也存在一些特殊的磁悬浮轴承系统，由于结构空间的限制或特殊应用需求，无法配置足够的主动悬浮支承，即可控制电磁力和驱动力的数量小于悬浮对象运动的自由度数，如磁悬浮飞车原理样机系统[1]、磁悬浮心脏泵[2-3]、钢板磁悬浮系统[4-5]及其他非典型磁悬浮系统[6-7]等。这些系统是利用磁悬浮轴承的边界效应或高速转子的陀螺效应等抑制非主动控制自由度方向上的外部扰动力对悬浮对象的影响，文中将此类磁悬浮系统定义为非完全约束磁悬浮轴承系统。

常规磁悬浮系统建模分析一般只需考虑轴承支承主动控制的电磁力，如径向磁悬浮轴承的径向电磁力，推力磁悬浮轴承的轴向电磁力，而忽略磁悬浮轴承边界效应产生的电磁力[8-12]。然而，对于非完全约束磁悬浮轴承系统，当某些(个)自由度上只能依靠边界效应抵抗外部扰动力时，忽略边界效应产生的电磁力无法真实地反映系统本质。因此，提出针对非完全约束磁悬浮轴承系统的建模分析法则：在磁悬浮轴承主动控制的自由度方向可忽略边界效应所产生的电磁力，而在非主动控制的自由度方向上须考虑边界效应所产生的电磁力对系统动力学的影响。此外，以非完全约束磁悬浮轴承系统为对象，采用有限元分析法对边界效应产生的电磁力进行仿真，并进行试验验证，以确定特定条件下系统动力学方程参数。

1 非完全约束磁悬浮轴承建模

1.1 电磁铁电磁力分析

对于非完全约束磁悬浮轴承，单个电磁铁的三维力学特性分析是系统建模的基础。不仅要分析电磁铁的法向电磁力，还要分析边界效应产生的侧向电磁力。利用ANSYS软件对单个电磁铁的三维静态电磁场进行建模，如图1所示，其中电磁铁采用U形铁芯和矩形衔铁。分析衔铁与磁极在x轴、y轴上相对位置变化后，支承面法向电磁力Fz和磁场边界效应产生的侧向电磁力Fx，Fy之间的变化关系。单个电磁铁有限元仿真的主要参数见表1。考虑模型尺寸和气隙大小，外部空气场设置为Box形状，层厚5 mm，其他边界条件及网格粗细按缺省值设置。

图1 单个电磁铁三维磁场有限元模型Fig.1 Finite element model of 3D magnetic field for single electromagnet

表1 单个电磁铁有限元计算参数Tab.1 Parameters for finite element calculation of single electromagnet

保持气隙和线圈电流参数不变，将衔铁分别沿x轴、y轴平移，分析电磁力Fx，Fy，Fz的变化。电磁铁三维磁感应强度分布如图2所示。

图2 衔铁平移前后的三维磁感应强度分布Fig.2 Distribution of 3D magnetic flux density before and after translation of armature

由图2可知，初始状态时，衔铁处于磁极中心位置，磁极处的气隙磁场分布均匀且对称，磁场无边界效应，侧向电磁力Fx，Fy均为0。当衔铁沿y轴负向平移时，磁感应强度分布发生了明显变化，气隙磁场不再对称，产生了磁场边界效应。此时，Fy不为0，且方向与衔铁平移方向相反(图2a)，Fy使衔铁向平移前的位置(y=0)回复。同理，将衔铁沿x轴正向平移，Fx也将使衔铁向平移前的位置(x=0)回复。

利用ANSYS软件计算衔铁在不同偏移量下所受的电磁力，其曲线如图3所示。由图可知，随着衔铁沿x轴(或y轴)平移量的增加，法向电磁力Fz均逐渐减小，侧向电磁力Fx(或Fy)逐渐增大，Fy(或Fx)为0。由于磁极和衔铁结构尺寸的影响，沿x轴、y轴分别平移衔铁的位移相同时，边界磁场产生的侧向力不相等。

图3 衔铁平移时的电磁力Fig.3 Electromagnetic forces while translation of armature

1.2 轴承系统原理

非完全约束磁悬浮轴承系统的原理如图4所示,系统由3个沿圆周均布的电磁铁(M1，M2，M3)、涡流位移传感器(S1，S2，S3)和1个环形的盘片(悬浮对象)组成。电磁铁的法向电磁力约束盘片沿z轴的平移自由度及绕x轴、y轴转动的旋转自由度,磁场边界效应产生的侧向电磁力抑制盘片受到的xOy平面上的外部扰动力。3个涡流位移传感器检测盘片平面的位移，经过计算转换为电磁铁气隙处的位移。控制器根据电磁铁气隙处的位移输出3路控制信号到功率放大器，从而调节各个电磁铁线圈的控制电流，将盘片平面悬浮在期望位置上(图4b)。

图4 非完全约束磁悬浮轴承系统原理Fig.4 Principles of incomplete constrained magnetic bearing system

建立固定坐标系Oxyz，坐标原点O为平衡位置处盘片的几何中心，盘片中心轴线与z轴重合(图4a)。在外部扰动力Px，Py，Pz和扰动力矩Tx，Ty，Tz作用下(假设扰动力、扰动力矩的方向均沿各坐标轴正向)，盘片几何中心产生的偏心量为e(x，y，z)。此时，各个电磁铁磁场边界效应产生的侧向力分别为Fxn，Fyn(n=1，2，3)；电磁铁的法向电磁力为Fzn(图5)。

图5 盘片的受力图Fig.5 Load diagram of disc

根据牛顿第二定律和文中提出的非完全约束磁悬浮系统建模准则，非完全约束磁悬浮轴承的动力学模型为

，(1)

式中：Jx，Jy，Jz分别为盘片绕各坐标轴的转动惯量；R为电磁铁中心线到z轴的距离；m为盘片质量；g为重力加速度；α，β，γ分别为盘片绕各坐标轴的旋转角。

2 侧向电磁力试验

实际磁悬浮控制系统会根据气隙反馈实时调节电磁铁线圈电流，以保持悬浮对象在期望位置上悬浮。基于ANSYS静态电磁力的仿真无法体现反馈控制下动态磁场及相关电磁力的变化规律，因此，通过试验测量盘片所受的法向电磁力和侧向电磁力，以验证电磁铁的力学特性和建立的系统动力学模型。磁悬浮轴承参数见表2。系统侧向电磁力的测量原理如图6所示。

表2 非完全约束磁悬浮轴承参数Tab.2 Parameters for incomplete constrained magnetic bearing

1—传感器；2—z轴；3—电磁铁；4—盘片；5—拉压力传感器；6—直尺

在悬浮状态下，若沿y轴施加外部扰动力使盘片平移，电磁铁M1的磁场边界效应最显著，其y向侧向电磁力Fy1最大；M2和M3的磁场边界效应较弱且相对于y轴对称，同时产生的侧向电磁力Fx2与Fx3相互抵消，且Fy2=Fy3≪Fy1。因此，盘片沿y轴平移后，其回复力主要取决于Fy1。

沿y轴给盘片施加外部静态载荷Pf，盘片中心轴线沿y轴方向产生偏离量Δy，此时Fy1与Pf平衡。逐步增加Pf直至盘片失稳跌落，盘片在失稳临界点时侧向电磁力达到最大值。由此可以测得一系列外部静载荷、偏移量、侧向电磁力及线圈控制电流I的对应关系。

以最小二乘法曲线拟合所测数据可得盘片偏移量与线圈控制电流的关系曲线，如图7所示。由图可知，M1的控制电流I1随着中心偏移量的增加呈非线性增加，M2，M3的控制电流I2，I3基本保持不变。说明沿y轴作用于盘片上的静态载荷Pf主要由M1产生的侧向电磁力Fy1平衡。

图7 盘片偏移量与线圈控制电流关系曲线Fig.7 Relationship curve between offset value of disc and control current of coil

盘片偏移量与外部静载荷的关系曲线如图8所示。对数据点进行最小二乘拟合可得

图8 盘片偏移量与外部静载荷关系曲线Fig.8 Relationship curve betueen offset value of disc and external static load

Fy1=-Pf≈-0.054 4Δy。

(2)

根据侧向力的测量试验和力平衡原理可知，盘片在平移过程中保持稳定悬浮。此时，盘片所受的法向电磁力Fz始终与盘片重力平衡，侧向电磁力与外部静载荷平衡(电磁铁线圈电流增大，气隙磁场能增加，增加的这部分磁场能以机械力的形式克服盘片的水平外部静载荷)。

利用U形电磁铁和衔铁的有限元模型(图1)，改变线圈电流的仿真参数值，保持法向电磁力Fz不变，可得衔铁沿x，y轴的平移量与电磁力的关系曲线，如图9所示。由图可知，在保持Fz不变的条件下，磁场边界效应产生的侧向电磁力与衔铁偏移量呈线性关系，计算结果与试验结果吻合。

图9 Fz不变时衔铁平移量与侧向电磁力关系曲线Fig.9 Relationship curve between translation value of armature and laternal electromagnetic force while Fz keep unchanged

3 轴承动力学模型修正

根据试验结果可知，Fy1与Δy呈线性关系，因此侧向电磁力可以等效为弹簧力，盘片在y轴方向上的动力学方程为

(3)

式中：P(t)为盘片受到的沿y轴方向的外部水平扰动力(小于最大临界侧向电磁力)；k为等效刚度系数(试验测量值k=54.4 N/m)。

若以外部扰动力P(s)为输入，盘片沿y轴的平移量Y(s)为输出，系统的传递函数为

(4)

由(4)式可知，理论上，当P(t)撤销后，盘片在y轴方向上应做等幅简谐振荡。然而实际运行过程中，盘片在受到水平方向上的脉冲激励扰动力作用时，复振荡运动的振幅较快衰减至零，盘片最终能够稳定悬浮在初始位置。而在盘片运动过程中，所受风阻可利用摩擦风阻计算公式F=0.5cρSv2(c为空气阻力系数，一般取0.3～0.6；ρ为空气密度；S为盘片的迎风面积；v为盘片与空气的相对运动速度)进行估算。结果表明，风阻对盘片振荡运动的影响可以忽略不计。该现象与(3)，(4)式所描述的理论结果不符。因此，说明侧向电磁力不仅可等效为弹簧力，还应该包含阻尼效应。修正(3)式，增加与盘片y轴方向速度成正比的等效阻尼系数cy，该系数可通过试验测得，运动微分方程为

(5)

同理，若盘片在外载作用下沿x轴平移，磁场边界效应产生的侧向力也可以等效为弹簧阻尼力，运动方程为

(6)

式中：cx为等效阻尼系数；kx为等效刚度系数。

若盘片在外力矩Tz作用下绕z轴转动，此时盘片在水平方向上不会有偏移，也没有边界效应产生的侧向电磁力。由于盘片是导电铁磁材料，当其相对于电磁场运动时会在其内部产生涡电流，涡电流的电磁阻尼作用会阻碍盘片的相对运动[13]，故此时运动方程为

(7)

式中：cγ为等效阻尼系数。

由文献[14]可知，PID控制的常规主动磁悬浮轴承可以等效为弹簧阻尼系统，系统的有效刚度和阻尼分别为

(8)

对于可以等效为弹簧/阻尼支承的法向电磁力Fz，其表达式为

(9)

式中：Kamp为功放增益；Ksensor为传感器增益；ks为位移/力系数；ki为电流/力系数；zsensor为盘片在z轴方向的位移。

在外部扰动力/力矩作用下，盘片中心偏离坐标原点位置(x，y，z)，将(3)～(9)式代入(1)式可得

,(10)

4 试验验证

对盘片施加沿y轴方向的脉冲激励力及绕z轴的旋转力矩，记录系统的响应，验证动力学修正模型的正确性。

4.1 z轴方向脉冲激励力和转矩的响应

盘片在初始位置稳定悬浮后，在t≈3 s时刻对其施加一个沿z轴负方向的脉冲激励，如图10a所示，盘片的响应曲线如图10b所示，由图可知，产生的z向振动迅速衰减，并稳定在平衡位置。

图10 z轴方向施加脉冲激励时盘片响应Fig.10 Response of disc under pulse excitation in z direction

盘片在初始位置稳定悬浮后，给盘片施加一个脉冲转矩(图11a)。当外加转矩为0时，在电磁场阻尼作用下，盘片转速在3.7 s内从95 r/min衰减至0(图11b)。试验结果与(10)式中的运动方程表述一致。

图11 z轴方向施加脉冲转矩时盘片的响应Fig.11 Response of disc under pulse torque in z direction

4.2 y轴方向脉冲激励响应

系统稳定悬浮后，在t≈5 s时刻沿y轴方向对盘片施加脉冲激励，如图12a所示。利用激光传感器采集盘片的y向位移信号，响应曲线如图12b所示。由数据采集卡获得的传感器S2的悬浮气隙曲线如图12c所示。

图12 y轴方向施加脉冲激励时盘片响应Fig.12 Response of disc under pulse excitation in y direction

虽然盘片没有受到z轴方向扰动，但由于y轴方向的平移会引起盘片平面倾角变化，盘片在z轴方向也产生了小幅振动，并和y轴方向振动同步衰减至零。对比图10b和图12c可知：当盘片受到扰动时，主动控制自由度方向上振幅的衰减速度远大于非主动控制自由度方向。

由于盘片受到脉冲力Py的作用，t=5+τ时，Py=0(图12a)。测得此时Δy=16 mm，盘片在侧向力作用下向初始中心位置回复。求解(10)式中的第2项，得到解析解形式为

(11)

将初始偏移量、盘片质量和刚度ky代入(11)式，并用MATLAB软件绘制不同阻尼系数下y(t)曲线，如图13a所示。当阻尼系数cy=0.45 s·N·m-1时，偏移量函数曲线与激光传感器实测曲线几乎完全重合(图13b)，说明所建立的运动方程可以表示盘片在y轴方向上的动力学行为。

图13 y轴方向动力学方程的验证Fig.13 Validation of dynamics equations in y direction

因为电磁铁沿圆周均匀布置，且盘片结构对称，所以系统在y轴方向上的运动分析也适用于xOy平面内与y轴成120°的特定方向，即在特定运动方向上的等效刚度系数与等效阻尼系数均分别为54.4 N/m和0.45 s·N·m-1。

5 结束语

分析了一种非完全约束磁悬浮轴承的动力学建模方法，提出了在非主动控制自由度方向上考虑侧向电磁力作用的建模准则。经试验证明：电磁铁磁场边界效应产生的侧向电磁力具有刚度阻尼特性，可以抑制相关自由度方向的外部扰动；所建立的非完全约束磁悬浮轴承模型满足特定方向上的动力学分析。在研究和设计其他类型的非完全约束磁悬浮轴承系统时，可以借鉴提出的动力学建模方法和试验方法。