高观点视角下一道中考数学试题的解法探究

阳顺才 闫锋锋

摘 要：在菲利克斯·克莱因“高观点下的初等数学”思想的启发下，文章倡导：用高学段的数学知识、思想和方法来分析、解决低学段中一些综合性的数学问题，但这两个学段的知识的逻辑结构不能逾越学生的“最近发展区”，只是在操作上省去一些繁琐的解题步骤.在这新鉴定“高观点”含义的指导下，就一道中考数学试题进行案例分析，并结合课堂教学实践，提出加強“双基”训练、找准学生的最近发展区、在学生获得综合评价的基础之上，适当地渗透高学段的知识、思想和方法，以促进数学学科核心素养水平的达成.

关键词：高观点;新鉴定;高学段;解析法;渗透

一、“高观点”含义新鉴定

菲利克斯·克莱因认为，数学教师应该具备较高的数学观点，理由是观点越高事物越显得简单.他告诫人们： 数学教育的改革不能采取保守的、旧式的态度，数学教育工作者的头脑中应始终保持着近代数学的观点，学会用现代数学来改造初等数学。美国学者吉姆·费（Jim.Fey）提出：把数学的概念、原理、技能和说理方法翻译成可以为大多数学生所掌握的样子，即所谓的“初等化”.这里的“初等”有两层意思： 一是对特定的学生群体是基础的，是可接受的;二是它是基于合理性、科学性、可行性的问题.近年来，张景中和林群两位院士，分别以全新的方式将“微积分”初等化.张景中先生提出的初等数学里的微积分，严格却不用ε-δ语言，而且用初等数学可以说清楚的语言，巧妙地用不等式化解“微分中值定理”的功能，最终将微积分初等化称为第三代微积分。

而文章所指的“高观点”是用高学段的数学知识、思想和方法来分析、解决低学段中一些综合性的数学问题，但这两个学段的知识的逻辑结构不能逾越学生的“最近发展区”，只是在操作上省去一些繁琐的解题步骤.比如，在初中的教材中，解析几何的思想只是在函数（一次函数、二次函数、反比例函数）部分有所渗透，用于函数的性质、函数与方程、以及函数与不等式等方面的研究，并没有拓展.而近几年的中考数学卷中，常常把解析几何思想方法融入在平面几何作为压轴题来考察学生的数学综合素养.学生在面对此问题时，通常只会采用平面几何的思想方法进行作答，不仅解题的切入点不难发现，而且解题步骤繁琐，对学生的逻辑推理、数学运算素养的要求较高，一旦学生找不到解题的切入点或逻辑推理、数学运算出现错误，就会造成大面积失分，从而打击学生学习数学的自信心，同时也让学生失去学习数学的兴趣.若此类问题通过建立平面直角坐标系，运用解析几何的初等思想进行作答，那么解题的切入点就易于找到，在解答过程中的逻辑推理就很自然、数学运算能力要求也较低。

二、典型案例分析

（2018年黔南州中考）如图1，已知矩形，，，动点，从点出发，以的速速向点运动，直到点为止;动点同时从点出发，以的速度向点运动，与动点同时结束运动。

（4）如图2，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，长为单位长度建立平面直角坐标系，连结，与相交于点，若双曲线过点，问的值是否会变化？若会变化，说明理由;若不会变化，请求出的值.

分析：第（1）问考查速度、时间、路程之间的关系，属于基础题型，意在使学生“热身”，进入解题的状态.第（2）、（3）问在第（1）问的基础之上考查勾股定理的应用，属于中等题型.这两问之间的关系，对于数学抽象素养弱的同学来说，它们之间是相互独立，能完成第（2）问，就会对解答第（3）问带来启示，但在解读过程中，这部分同学就会将这两问分开来思考;对于数学抽象素养较强的同学来说，这两问之间是递进关系，第（2）问具体化，而第（3）问在第（2）问的基础进行一般化的抽象，那么这部分同学在解答完第（2）之后，对于第（3）问，他们就会将第（2）问的解题思路进行一般化的抽象，即用两问的共性进行求解.解答过程如下：

解：由于点和点均为动点，所以，过点作交于点有如下两种情况，如图3、图4所示：

对于这两个问，以上解法应该是初中阶段最经典的解法了，但对学生的综合素养要求较高，尤其是数学建模素养，其实这两个问就是考查学生的数学建模素养水平的高低，若学生能够运用以上解法进行作答这两个问，那么这些学生的数学建模素养已达到义务教育阶段的要求水平，并基本普通高中继续学习的较强能力.

若这两个问，我们通过建立平面直角坐标系，求出点和点的坐标，并运用两点间的距离公式，就可以很快求出，两点的距离.运用解析的方法，需要学生掌握这样三点：一是会建立适当的平面直角坐标系;二是会准确计算出点的坐标;三是知道两点间的距离公式.第一、二点在七年级下册就学习了，学生已有很好的掌握;而第三点需要在八年级下册学习了勾股定理之后，运用勾股定理以及平面直角坐标系的有关知识推导出两点间的距离公式，在总复习的最后一个阶段，要加强对这些拔高知识点的记忆与理解，便于应试时的应用.用解析的思想方法求解（2）、（3）问如下：

解：如图2，建立以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，长为单位长度建立平面直角坐标系.

两种方法相比，解析法很显然优于平面知识的解法，运用解析法回避了分类讨论，整个解题过程很形象直观.所以运用“高观点”可以使学生的解题思维更高清晰，就可以做到居“高学段的知识、思想和方法”之高，临“低学段的综合问题解决”之下，为学生全面发展赢得时间和空间.

第（4）问更能体现这种居“高学段的知识、思想和方法”之高，临“低学段的综合问题解决”之下的“高观点”的潜在教育价值.若此问运用初等平面几何知识进行求解，需要利用勾股定理和点的坐标来构造线段的长度，再通过三角形相似来建立关于点的横纵坐标之间的关系，才能完成此问的作答.而三角形相似是义务教育阶段数学教材中的重点知识，这部分知识对学生而言就是难点，学生在学习或者运用这部分知识时，都有些胃难情绪，这样造成解题心里的障碍，一旦这种障碍得不到及时的解决，就会放弃或者分析不全面，因此而失去得到高分的机会，这也就是所谓的区分题型.运用初等平面几何知识进行求解的过程，在此不再赘述，以下我们从另外一个角度来分析此题。

由于双曲线过点，且，这样我们只要求出点的横纵坐标的表达式，将点的横纵坐标的表达式相乘，就可判断的值是否会变化了.我们在结合图2知道，点是直线与直线的交点，直线方程是高中阶段的知识，而初中階段却出现它的雏形，那就是一次函数，因为一次函数的图象就是直线，而由直线到一次函数解析式，这一逆向思维，义务教育阶段不作要求，那么在教学的过程中就引不起教师们的重视，导致学生失去居“高学段的知识、思想和方法”之高，临“低学段的综合问题解决”之下的一次体验的机会.其实在学习一次函数图象的时候，进行适当的拓展，“不仅要体验一次函数的图象是一条直线，还要让学生体验到平面直角坐标中一条直线的解析式就是一次函数”这就是解析几何的关键之处。

以上解答过程，思路非常的清晰，这就说明学生站得高就会看得远，需要教师具有“高观点”意识，才能引领学生居“高学段的知识、思想和方法”之高，临“低学段的综合问题解决”之下的数学之美。

三、“高观点”指导课堂教学的几点思考

将高学段的知识、思想和方法应用到低学段的课堂教学之中，不仅要考虑学生的潜力发展方向，也要兼顾学生的基础知识的积累，没有扎实的基础，再好的思想方法都将是海市蜃楼。

（一）在学生的最近发展区渗透“高观点”下的知识、思想和方法

在课堂教学中，我不仅要分析教材，更要分析学生，了解学生已有的知识储备以及所具备的数学思想方法，只有在这基础之上渗透“高观点”才能顺应原有的认识结构，从而形成学生新的认知水平。

（二）在学生掌握基础知识的前提下渗透“高观点”下的知识、思想和方法

基础知识和基本技能是每一个学段必须完成的“双基”任务，也是为高学段继续学习奠定基础.没有基础知识与基本技能，就不可能思维活动以及活动经验的积累，更不可能有应用意识和创新意识，从广义上说“高观点”就是一种在思维品质上的创新。

（三）在学生获得综合性评价的基础上渗透“高观点”下的知识、思想和方法

所谓的综合性评价就是学生对某一模块知识学习结束或某一学段所有知识的都修完的时候，这一时期的学生无论在知识储备上，还是思维能力上都已具备必要的“双基”知识.在这个时间点上讲授高学段的知识、思想和方法，便于学生的理解，也为学生在竞技考试的时候赢得更多的时间。

四、结语

“高观点”不仅是高师教师思考的问题，也应该成为各学段教师思考的问题，教育要培养新时代的创新人才，就必须挖掘学生在每个学段的潜力，但我们也不能好高骛远，只有加强基础知识和基本技能的训练、找准学生的最近发展区，在学生获得综合评价的基础之上，适当地渗透高学段的知识、思想和方法，才能分析与解决当前学段面临的问题，从而激发学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进不同学习阶段数学核心素养水平的达成。

参考文献

[1] 菲利克斯.克莱因.舒湘芹，等，译.高观点下的初等数学[M].上海：复旦大学出社，2008.

[2] 张景中.不用极限怎样讲微积分[J].数学通报，2008（08）：1-9.

基金项目：文章为黔南民族师范学院教育硕士研究生教育质量工程项目《黔南水族地区初中学生数学逆商水平的调查研究》的研究成果，项目编号：2018yjszz013。