由学生质疑引发的对小学数学综合与实践的思考

冉国明 赵震

[摘 要]综合与实践的实施是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。面对学生的疑问，教师却匆匆下课的课堂场景，引发了对“积累数学活动经验是综合与实践领域的重要目标，那么在注重引导学生积累实践与操作经验的同时教师还应该做些什么？在突出课程标准所强调的‘要使学生能充分、自主地参与 的同时，又如何充分发挥教师的引导作用？”等问题的探索，以及对北京版教材三年级下册综合与实践中“围绿地”的内容的新的实践。综合与实践教学要合理把握其学科性、综合性、实践性的特点，要充分发挥教师在数学综合与实践中必要的引导作用，要准确理解数学综合与实践“积累数学活动经验”的目标。

[关键词]质疑;综合与实践;数学活动经验

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0014-05

一、缘起

一次教研活动中，一位数学教师执教的是“围绿地”一课。这一内容是北京版教材三年级下册第五单元长方形和正方形面积单元的最后一个教学内容的综合与实践。以下是教学片段：

教师出示内容：用24米长的篱笆靠墙围一块长方形或者正方形的绿地，怎样围成的面积最大？（如图1）

在学生理解题意后，教师引导学生猜测：在多种围法中，绿地的面积怎样围最大？

学生基于已有的知识经验纷纷猜测：围成正方形得到的面积最大。

教师出示学具并提出动手实践验证的要求：每组同学利用手中的24根小棒（把每根小棒看作长度是1米的篱笆），小组合作动手围一围，并填写表格。

教师引导学生在得出如下表格后进行观察分析：

通过观察，学生发现结果和自己的猜测完全不同：围成的长方形或正方形中，面积最大的一个是72平方米的长方形，该长方形的长是宽的2倍。

教师总结：“当周长不变时，三面围长方形或正方形，围成的长是宽的2倍的长方形的面积最大。”

学生议论纷纷。不少学生都很疑惑：“为什么不是围成正方形的面积最大？这与我们学的不一样啊！”“为什么长是宽的2倍时围成的长方形的面积最大？”……

由于已到下课时间，教师就没有进一步深入解释，整节课在匆忙中结束。

作为旁观者的我，对学生的“议论纷纷”感触颇多。

纵观全课，教师很重视让学生通过动手实践来积累活动经验，花费了大量的时间让学生“围绿地”。课中，教师也进行了适时的引导，如：通过让学生观察表格中的数据来得到结论。表面上看，课堂很热闹，学生活动很多——有操作、观察、概括，但也只停留在了表面。

学生为什么会提出“为什么不是围成正方形的面积最大？”的疑问呢？一方面，因为前面在学习探索规律这一内容时，学生刚刚接触到一个结论“当周长一定时，围成正方形的面积最大”，而这节课学生在学习“围绿地”时又得到了一个结论“围成的长是宽的2倍的长方形的面积最大”，显然，这两个结论相互矛盾。另一方面，教师通过数据得到结论的同时没能引领学生深入思考结论背后的东西，也就是所谓新结论与以前“围成正方形面积大”的结论之间的关系，没能把知识和规律联系起来。学生根据以往的知识经验已经自然地产生了认知冲突，产生了新的质疑。

二、思考

1.课程标准指出“积累数学活动经验是综合与实践的重要目标”，那么在注重引导学生积累实践与操作经验的同时，教师还应该做些什么？

东北师大史宁中教授曾指出：“何为数学活动经验？一是指动手操作的经验，二是指思维的经验。”“围绿地”一课中，教师花费大量时间让学生动手操作——围长方形或正方形的绿地，以此来帮助学生积累实践和操作的经验，应该说是有价值的、重要的，但是积累思维的经验更重要。本节课中，学生的质疑就是一个引导学生积累思维经验的契机。教师应该抓住这一契机带着学生通过有效的实践和进一步思考，借助猜想——验证，帮助学生积累必要的思维经验，也就是使学生学会如何思考。

2.综合与实践教学中，突出课程标准所强调的“要使学生能充分、自主地参与”的同时，如何充分发挥教师的引导作用？

“围绿地”一课中，教师的作用仅仅是引导学生通过操作得到数据，再通过观察数据得到结论，这显然是不够的。在课堂教学中，如果展现的仅仅是学生肤浅表层的甚至是虚假的主体性，而失去教师的价值引領、智慧启迪和思维点拨，必然导致教学低效甚至无效。

因此，当学生产生质疑时，教师应该充分发挥自身的引导作用，给学生搭建平台，提供方法，鼓励学生进行新的力所能及的探索，这样才能使教师的引导作用落到实处。

3.综合与实践教学是否应该“毕其功于一役”，仅仅局限于一节课就解决全部问题？

“围绿地”一课中，教师在引导学生动手操作、观察数据、得出结论上用了大量的时间，导致没时间处理学生的质疑。课程标准说的“重在综合”是指活动中注重数学与生活实际、数学与其他学科的综合，我认为还应包括“课内与课外”“课下与课上”的综合。在“围绿地”一课中，完全可以把“围绿地”、填表格，甚至发现结论的任务交给学生课前完成。这样，上课的时间就可以用来引导学生质疑，从而引发新的探索与思考。而完不成的内容还可以放到课后，使学有余力的学生能继续进行力所能及的探索，从而实现综合与实践教学价值的最大化。

基于上述三点，我展开了新的“围绿地”的教学。

三、实践

【活动一】课前组织学生初探，得到初步结论

师：今天请大家利用课余时间完成一项任务“用24米长的篱笆靠墙围一块长方形或者正方形的绿地，怎样围围成的面积最大？”（如图1）

师：这个任务是让我们干什么？你们熟悉这个任务吗？这个与前面学过的有什么不同？

生1：熟悉。前面学习探索规律时，我们刚刚围过。这个是一面靠墙来围绿地的。

师：你很善于观察。一面靠墙围绿地，那也就是说要用24长的篱笆围几条边？

生2：三条边。

师：这一点和之前的探索规律是有区别的。猜一猜，怎样围使得面积最大？

生（齐）：围成正方形使得面积最大。

师：仅仅靠猜测还不行，还要——

生（齐）：进行实践。

师：说得好，老师仍然给每个小组准备了24根小棒，可以把每根小棒看作长度是1米的篱笆，请大家利用课余时间以小组为单位动手围一围，就像前面的探索规律一样，有序地围出所有不同的长方形或正方形。另外，老师还给每个小组提供了一个表格，每围好一个图形就在表格内填好相应的数据，然后观察表格中的数据，看一看和你猜想的是否一样，有兴趣的同学可以进行深入的研究与探索。

【思考与评析：

（1）体现了“课下与课上”相结合，解决了开展综合与实践“时间总不够用”的问题。

学生在学习这一内容之前已经积累了大量的实践与操作经验，学习新知存在的障碍是探索围四条边的封闭图形的规律，而今天的围绿地是一面靠墙围三条边。通过课前探索，这一障碍在课前已经扫清。因此，学生利用已有的经验在课前自主完成“围绿地”的实践操作，已经通过观察初步得到结论，为进一步深入探究节省了时间。

（2）使学生能有充分的时间在实践与操作中积累数学活动经验。

将“围绿地”的实践操作放在课前，可以使学生在基于已有的知识经验充分积累新的实践操作经验的同时，将课堂时间用来积累思维经验，做到两者兼顾。】

【活动二】课上引导点拨、质疑解惑

师：怎样围成的面积最大呢？课前大家都进行了猜测，也利用学具以小组为单位进行了实践操作，并得到了结论，下面我们来看第6小组得出的结果。（图略）

生1（第6组）：我们小组一共围出了11个不同的长方形。第一个长方形的第一条边长为1米，第二条边长为1米，第三条边长为22米，面积是22平方米。

师：请大家判断他们围的这个长方形符合要求吗？

生2：符合要求。因为是一面靠墙围，所以围出的图形有三条边。

师：仅仅从三条边就能看出符合要求吗？

生3：1+1+22=24（米），正好与题目中的“用24米篱笆”一样。

师：说得很好。综合两名同学的回答可以看出，围的绿地是符合要求的。请继续介绍，其他同学来监督，看看是不是围出的图形都符合要求。

【思考与评析：学生的科学探究意识是需要教师培养的。在学生汇报第一个图形时，教师充分发挥引导作用，让学生验证围成的图形是否符合要求，即“24米篱笆，一面靠墙围”，使学生的目光聚焦到课前的实践操作上，并意识到：不是随便怎么围都可以，只有使每一个围成的图形都符合要求，才能使最终得到的结论科学和可信。】

生1（第6组）：第二个长方形，第一条边长为3米，第二条边长为3米，第三条边长为18米，面积是54平方米……我们组得到的结论是“第一条边为6米，第二条边为6米，第三条边为12米的长方形的面积最大，是72平方米”。

师：一起看一看这个面积最大的长方形，它的长是12米，宽是6米。认真观察它的长和宽，你有什么发现？

生4：长是宽的2倍。

师：换句话说，这个长是宽的2倍的长方形，在所有围出的图形中面积最大，是这样的吗？

生（齐）：是的。

师：还记得课前你们是怎么猜测的吗？

生（齐）：围成正方形能使得面积最大。

师：请观察表格中的数据，哪个是正方形？它的面积是多少？通过实践得到的结论和你们课前猜测的一样吗？

生（齐）：当3条边都是8米时围成正方形，面积是64平方米。不一样。

师：大家有什么想说的，或者有什么问题吗？

生5：之前学习探索规律时，不是围成正方形面积最大么？怎么又变了？（学生议论纷纷）

师：是呀，当周长一定时，围成正方形面积最大。难道之前得到的这个结论是错的吗？

生6：我觉得前面得到的结论没错，我们都动手实践过。（学生纷纷点头）

师：难道是你们课前通过动手实践得到的这个新结论错了？（学生有些犹豫，然后纷纷摇头）

生7：我觉得这个新结论也没错。

生8：我们都實践过，而且几个小组的结论都相同。

师：以前得到的结论没问题，新得到的结论也没问题，那问题究竟出在哪里？请与小组的同伴讨论。

【思考与评析：质疑能力是一切学习能力的核心。这一环节中，教师发挥引导作用将之前学生在探索规律中得到的结论“周长一定，围成正方形面积最大”与“围绿地”时新得到的结论“周长相等，围成长是宽的2倍的长方形面积最大”这两个结论对立起来，引发了学生思维上的冲突。所谓学起于思，思源于疑，学生在质疑中既积累了思维经验，又由原来的仅仅关注探究的结论，转向了关注结论背后更深层次的东西，进而产生了进一步深入探究的兴趣。】

师：哪个小组有想法了？

生9：我们组有了一个发现，原来在学习探索规律时，我们用小棒围的是4条边，而课前我们在围绿地时，围的是3条边。

师：你们不但善于观察，还善于思考。我们之前在探索规律时，围的是4条边的图形，而在课前的实践中围的却是3条边的图形。在围出的3条边的图形中又藏着怎样的秘密呢？仅仅观察表格中的数据能看出来吗？

生（齐）：看不出。

师：让我们借助在学习长方形面积时使用过的一个重要的工具——方格纸，把图形画在方格纸上，把数据也标上，再进行观察，看看能否有所发现。

课件出示：

师：我们可以把图2中的黄色部分看成是一堵墙，左图就是3条边都长8米的正方形，右图就是长是宽的2倍的长方形。如果把墙拿开，看一看围成的究竟是什么？

课件出示：

生10：它们都只有3条边。

生11：它们都不是完整的正方形和长方形。

师：由4条边围成的封闭图形才是一个完整的图形。先观察图3右边的长方形，像谁的一部分？

生12：长方形的长是12米，宽是6米，在它上面加一个一模一样的图形就得到一个正方形了。

师：请大家闭上眼睛想象生12“创造”的正方形。

课件演示：

师：照这样，如果给图3左边的图形上也加一个一模一样的图形会得到什么？一起看看。

课件演示：

生（齐）：变成了长方形。

师：这个过程像不像照镜子？你们照过镜子吗？

生（齐）：照过。照镜子时，你们在镜子里看到的是什么？

生（齐）：看到了自己。

师：对，是一个一模一样的自己。

师出示：

师：图6是我在纸上画的由3条边构成的图形，现在把它们放到镜子前。

师：原来的两个图形与镜子里面的它们结合，分别变成了什么？

生13：变成了长方形和正方形。

师：而且都变成了完整的封闭图形了。算一算这两个完整图形的周长，看看有什么发现。

生14：它们的周长相等。

师：还记得前面探索规律时得到的结论吗？

生（齐）：当周长相等时围成正方形的面积最大。

师（出示图6）：我们看到的3条边构成的图形与完整的长方形和正方形都是什么关系？

生15：都是它们的一半。

师：说得好，它们其实分别是完整的周长相等的长方形和正方形的一半，周长相等，正方形面积最大，那完整正方形面积的一半也就大于完整长方形面积的一半了。因此3条边围成的长12米、宽6米的长方形的面积要大于边长是8米的正方形的面积。你们明白了吗？

生16：原来是这么回事，明白了。

师：反思一下，我们在探索规律时得到“周长相等，围成正方形的面积最大”的结论到底有没有错？

生17：没有错，只不过换了一种形式而已。

师：总结得太好了……

【思考与评析：这一教学环节凸显了教师在综合实践活动中的引导作用，具体体现在以下几方面：

（1）在学生思维走向“深入”的过程中，启迪了学生的智慧。当学生在质疑中产生了探究的兴趣，但又缺少进一步“深入”探究的方法和能力时，教师充分发挥了引导作用，进行了点拨，使学生找到了探究的方向。如，“在我们围出的3条边的图形中又藏着怎样的秘密呢？仅仅观察表格中的数据能看出来吗？”这一个问题将学生思考的方向引到了对3条边围成图形的本质的探究上，从而发现这3条边围成的并不是“完整图形”。又如，教师的追问：“反思一下，我们在探索规律时得到‘周长相等，围成正方形面积最大的结论到底有没有错？”“只不过换了一种形式而已”，一个学生的发言道出了本质，从而打通了“旧规律”与“新规律”之间的联系。

（2）提供素材，提供方法，利用数形结合在思维节点上帮助学生解惑。在课前的实践中虽然进行了实践操作，但是学生记得的只有数据。教师适时提供了直观图，并且把数据与图形结合起来帮助学生解惑，充分体现了自身的引导作用。

如：第一处，借助学生熟悉的工具方格纸呈现一面靠墙围好的3条边都是8米“正方形”和长12米、宽6米的“长方形”，通过循序渐进的演示，使学生发现围成的并不是完整的图形，从而提出设想“如果给它们加一个一模一样的翻过来的图形，就得到了完整的长方形和正方形”。

第二处，通过直观演示在纸上画好的3条边都是8米“正方形”和长12米、宽6米的“长方形”，并将其放在镜子前，与镜子里的影像相结合，组成完整的长方形和正方形的过程，使学生确信：原来围成的只是完整图形的一半，以前的结论并没有错，现在只是换了一种形式而已。

（3）帮助学生积累了必要的思维经验。一方面，教师以学生的质疑为契机，引发了学生新的猜想：“在学习探索规律时，我们用小棒围的是4条边，而课前我们在围绿地时，围的是3条边。”可见，学生认为，问题出在“3条边”上。教师又顺势引导：“我们之前在探索规律时，围的是4条边的图形，而在课前的实践中围的却是3条边的图形。”从而引发学生新的探索与实践，帮助学生积累了思考问题的必要经验。另一方面，在探索过程中通过教师引导，如“在我们围出的3条边的图形中又藏着怎样的秘密呢？仅仅观察表格中的数据能看出来吗？”使学生的目光由关注数据，转向了关注数据的同时更关注图形，将数据与图形结合起来解决问题。这种解决问题方法的积累，也是积累思维经验的一个重要方面。】

【活动三】课上拓展，课下延深

师：其实我们还可以从另外一个角度来解释为什么“用24米篱笆一面靠墙围绿地时，围成长是宽的2倍的长方形面积最大”。

课件出示：

师：我们仍然借助方格纸，图8是用“24米的篱笆”在方格纸上围成的正方形，并且是能围出的所有封闭长方形或正方形中面积最大的一个，大家同意吗？

生（齐）：同意。

师：一面靠墙围3条边，可以看成是把4条边围的面积最大的正方形的一条边去掉，如把靠墙的边去掉，这样就变成了只围3条边了（如图9-1），你们觉得行吗？

生（齐）：不行，因为用的是24米長的篱笆，去掉一条边，变成18米就不符合题意了。

课件演示（变化过程）：

师：对，必须保证篱笆的总长是24米。因此，把靠墙的6米长的边平均分成2份，分别接在两条竖着的6米的边上（如图9-2），剩下的一条水平方向的6米长的边向下平移就构成了一面靠墙的长方形。这个过程中，篱笆的总长度没变，仍是24米，但面积却在原来的基础上增加了18平方米。我们还可以把这靠墙的6米长的边分开以后放在哪里，从而使新围成的图形在原来的基础上增加面积？

生1：在2条竖着的边上和横着的边上各放一部分。

生2：还可以都加在剩下的一条横着的边上。

……

师：大家都很有想象力，这些想法能行吗？加在哪里才能使面积增加最大？当增加的面积最大时，围成的图形又是什么样的？我为同学们准备了方格纸，愿意继续深入探究的同学，课下可以在方格纸上继续探索，得到答案后可以和我交流。

【思考与评析：这一环节体现了两点：

（1）凸显了数学综合实践活动时间上的综合性。由于课堂时间的限制，教师不可能在课堂上完成所有的教学内容与任务。因此，教师在给学生提供了素材和方法，进行了适当的引导之后，将继续探索的任务布置到了课后。这样，课前、课上、课后的“综合”就为数学实践活动提供了充足的时间。

（2）为“学有余力”的学生提供进一步“深入”探索、积累更“深层次”实践与思维经验的机会。需要说明的是，这里的“深入”和“深层次”并不是想“难为”学生。】

四、反思

1.要合理把握数学综合与实践学科性、综合性、实践性的特点

以往进行综合与实践教学时，笔者对于综合与实践的实践性特点把握得最好，十分注重学生的动手实践活动，但对于学科性和综合性的认识还有些片面，而现在认识得更全面了。就学科性来说，综合与实践课，首先是姓“数”，其落脚点在于全面提高学生的数学素养，因此不能离开对数学本质的探索与追求。就综合性来说，综合与实践的学习内容不仅仅体现在科学、美术、音乐与数学课程内容的综合，还应该包括学习空间和时间的综合、课内学习与课外学习的综合。在学习主体上还应突出对普通学生关注和对“学有余力”学生关注的综合。

2.要充分发挥教师在数学综合与实践中的引导作用

课程标准指出：“教师的引导作用主要体现在：通过恰当的问题或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心;通过恰当的归纳和示范使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想;能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性。”经历了对于“围绿地”教学的思考与实践，笔者认为，在综合与实践的教学中教师要发挥的作用亦是如此。

3.要准确理解数学综合与实践“积累数学活动经验”的目标

积累数学活动经验不仅是综合与实践的一个重要目标，还是数学教学的重要目标。课程标准指出：“数学活动经验需要在‘做的过程和‘思考的过程中积淀。”就这点来说，笔者以往简单地认为“既然叫综合与实践就应该侧重于实践，只要關注‘做就可以了”的看法有一些偏颇了。在关注实践与操作经验积累的同时，同样不能忽略思维经验的积累。教师应该利用有效契机帮助学生积累 “思考问题的方法”的经验、“解决问题的方法”的经验等。

（责编 金铃）