例谈构造法在数学竞赛中的应用

湖北省武汉市武汉二中 齐韫哲

构造法在数学竞赛中经常用到，它即可以训练学生的数学思维，又可以化繁为简，经常可以起到事半功倍的好效果。运用构造法解题，先要认真分析题目，展开丰富的联想，从中发现可用构造法的因素，然后借助于与之相关的知识结构构造所求问题的具体形式，最后求解所构造的问题，并注意回到原来的问题中去加以说明或证明。下面结合实例分析说明常见的几种构造法在数学竞赛中的应用。

一、构造函数法

例1 已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。（第15届俄罗斯数学竞赛题）

分析：此题的条件与结论都具有一定的轮换对称性，然而难以直接利用分类讨论法来证明，不妨利用构造法试试。

证明：构造关于x的一次函数 f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）。

因为这里y，z∈（0，1），且有f（0）=yz-y-z+1=（y-1）（z-1）＞0，

f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）=yz＞ 0，

又f（x）是一次函数，其图像是一条直线，所以有x∈（0，1）时，恒有 f（x） ＞ 0，

即（y+z-1）x+（yz-y-z+1）＞0， 整理得x（1-y）+y（1-z）+z（1-x） ＜ 1。

二、构造方程法

例2 设实数a，b，c满足a2-bc-8a-7=0，b2+c2+bc-6a+6=0。求a的取值范围是多少。（1986年全国高中数学联赛题）

分析：通过观察题目，展开联想，发现可以用a来表示b+c和bc，所以可以构造以b，c为根的一元二次方程。然后利用根与系数的关系定理来求a的取值范围。

解：由已知得b+c=±(a-1),bc=a2-8a+7，所以构造关于x的一元二次方程得x2±(a-1)x+a2-8a+7=0。

因为b，c为该方程的两个实根，所以Δ=[±(a-1)]2-4（a2-8a+7）≥0，整理得a2-10a+9≤0，即1≤a≤9。

三、构造多项式法

例3 证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被17整除。（首届IMO试题）

分析：要证明表达式2x+3y和9x+5y能同时被17整除，即要找到这两个表达式的线性组合的一个代数式，使它们的值是17的倍数即可。

证明：构造代数式9（2x+3y）-2（9x+5y），其值等于17y，能被17整除，结合2与9均与17互素，结论得证。

四、构造向量法

分析：柯西不等式在高中数学中有着较为广泛的应用，其定理本身有很多不同的证法，如构造一个二次函数，利用判别式法也不失为一种好的证法，但用构造向量法证明来得更简捷明了。

五、构造图形法

例5 若a，b，c，m，n，k＞0，且有a+n=b+k=c+m=p，求证：ak+bm+cn＜p2。（第26届全苏数学竞赛题）

分析：通过已知条件联想到构造一个边长为p的等边三角形，然后运用面积法来求证。

证明：构造一个边长为p的等边三角形ABC，如图。

故有 ak+bm+cn＜p2。

点评：以上结合例题列举了5种常见的构造法，由此可见这些方法在解题中往往可以起到化繁为简、事半功倍的效果，但是构造法往往比较难以掌握，需要平时仔细观察题目的已知条件与所求结论，从中找到知识结构的内在联系，日积月累。