原型启发 画图表征 题组比较 凸显算理——“隔位退位减”教学思考

江苏省太仓市荣文小学 黄 巍

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”正确运算、理解算理、灵活运算是运算能力的主要内涵。为了实现正确运算，不少教师希望通过大量重复的练习，实现“熟能生巧”。练习固然是达成技能的必要手段，但运算能力是与观察能力、记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力及想象能力等有关的由低级到高级的综合能力。计算教学的价值在于发展学生的思维，培养学生的推理素养。因此，计算教学要以计算为载体，引导学生理解算理，知其所以然，以加深学生对所学数学知识本质的理解。算理是算法的根基，是灵活运算的前提。在“隔位退位减”一课的教学中，我借助生动有趣的情境，原型启发悟算理；利用直观的模型，画图表征明算理；发挥题组的功能，对比辨析说算理，凸显了算理，发展了学生的数感，提升了他们的思维品质,并适时渗透了基本的数学思想方法。

一、原型启发，悟算理

二年级学生的思维水平还是以形象思维为主，适合的情境能唤醒学生的已有经验，也会让学生主动调用生活经验解决问题，初步感悟算理。“隔位退位减”一课，教材上呈现的情境是：二年级同学画了204幅儿童画，一年级同学比二年级同学少画108幅。一年级同学画了多少幅？考虑到学生有购物的经验，又学习过人民币的简单换算，我把情境进行了适当调整。

教学片段1：

呈现情境：老师原来有204元，买书用去108元。根据这两个条件，你们想提出什么数学问题？

生：还剩多少元？

师：用什么方法计算？怎样列式？

生：已知原有的钱和用去的钱，求还剩的钱用减法计算，算式是204-108。

师：204-108，个位上4元减8元不够减，怎么办？

生：可以从十位上拿出1张10元来，换成10张1元，就够减了。

生：可是十位上是0，说明1张10元也没有啊！

生：百位上有，可以从那拿出1张100元，换成10张10元的，再从10张10元里拿出1张10元换成10张1元的。

师：204-108，个位上4减8不够减，需要从十位退1，可是十位上是0，怎么办呢？刚才同学们自己想出办法：先从百位上拿出1张100元，换成10张10元的，再从中拿出1张10元换成10张1元的，就解决问题了。

“老师原来有204元，买书用去了108元，还剩多少元？”当学生列式后尝试计算出现困难时，他们直接想到是找人民币帮忙，主动进行实物操作以解决计算中遇到的困难—“个位不够减，要十位退1，而十位上是0，怎么办？”购物情境里蕴含着算理的原型，学生在熟悉的情境里，主动调用换钱的经验解决问题。可见，数学教学不能只求结果，而要从“根”上思考，根据学生的情况创设给学生带来学习经验的体验和积累的情境，让学生在解决情境中计算问题的同时初步感悟隔位退位减的道理：个位上4减8不够减，需要从十位退1，可是十位上是0，需要先从百位上拿出1张100元，换成10张10元的，再从中拿出1张10元换成10张1元的，这样就可以解决问题了。

二、画图表征， 明算理

根据小学生的认知特点和心理特点，算理的理解需要教师“架桥”，寓抽象的知识于具体形象之中，把学生的直观认识逐步引导到抽象的彼岸。在学生初悟算理后，我出示计数器图，让学生动手画一画，把抽象的算理画图表征出来。

教学片段2：

师：那你们能不能把刚才计算的过程在计数器上画出来呢？要拨入的珠请小朋友用铅笔直接画上去，拨去的珠可以直接划去。

学生试画，教师巡视。

师：先画好的小朋友同桌两人先交流，互相介绍一下你是怎么画的？

学生交流：

个位上不够减，从十位退1，十位上是0，所以要从百位退1；

百位退1到十位，1个百是10个十，所以要在十位上画10颗珠；

十位退1到个位，1个十是10个一，所以要在个位上画10颗珠；

个位上现在是14颗珠，划去8颗珠，剩下6颗珠。

小组讨论：十位上是怎么变成9的？

集体梳理：

个位上：4-8不够减，从十位退1，十位是0，从百位退1，十位是10，十位退1到个位，14-8=6；

十位上：10退了1看作9，9-0=9；

百位上：2退了1看作1,1-1=0，不写。

答案是96。

个体思考：这里百位的2上打点看作1，那十位0上打点看作几呢？

理想的数学课堂不仅要让学生“知其然”，还要让学生“知其所以然”，要引导学生把对法则的演练转变成对算理的思考，把运算从操作层面转向思维层面，才能真正发展学生的运算能力。画的过程，不仅可以激发学生的兴趣，而且可以把抽象的算理具体化，化难为易，特别是课上人人动手，可以启发学生积极思考，明晰算理，增强运算的积极性。

实践操作之后，还需要把学生自己的思维过程通过竖式表达出来，从画图表征逐步过渡到符号表征。我引导学生回溯计算过程，“隔位不够减，十位是0，是怎么退位的？”“差的十位上的9是怎么算出来的？”解决了这些疑难问题，算理的理解也就通透了。学生在回溯知识的形成过程，与自己对话、与同桌对话、与教师对话，不断反思、不断辨析，他们通过自己的努力渐渐清除了算理理解中的阻碍，实现了对算理的深刻理解。

三、题组比较，说算理

语言是思维的外壳。在课堂上，不但要让学生明算理，更要重视让学生说算理。说算理是数学理解和语言表达的综合体现，加强算理的表达也是在培养学生缜密的思维。在教学中我们能发现，很多时候，学生会算，心里也知晓，但就是说不出来。因此在教学中，我们要创造更多的锻炼机会，给学生提供更多表达的机会，让每个学生都能表达自己的想法，阐述自己对算理的个性化理解。在“隔位退位减”一课的练习环节，我充分发挥题组的功能，让学生对比辨析说算理，深化了对算理的理解。

教学片段3：

1. 填一填。

在隔位退位减中，百位上都要退1，十位上都是0上打点看作9后再进行计算。这一组三道题重在考查学生对算式特点的把握。在学生填完这一组题后，我引导他们说说：为什么这些题都是“隔位退位减”？让学生通过语言描述加深对隔位退位减算式特征的理解。

2.选一选。

图1是连续退位减，2上打点表示个位不够减从十位退1，此时圈出部分表示的数值是1（个十）；图2是隔位退位减，0上打点表示9。这一题组指向的是算理的理解，让学生用自己的语言说思考过程，辨别连续退位与隔位退位的不同，再次突破了“0上有点就是9”这一隔位退位减算理的难点。

3.猜一猜：星星背后躲着几？

下面的题都是我们今天学习的隔位退位减。

星星后面躲着哪个数呢？看哪位小朋友能把它们都找出来。

这一题组重在考查学生的推理能力。第1颗★是0；第2颗★要填比7大的数，可以是8或9；第3颗★要比3小，可以是0、1、2；第4颗★可以是1到9中的任意一个数。

题组练习的目的是让学生在交流中纠正并完善自己的认知，在不断的自我反思中深化对“隔位退位减”算理的理解，提升自己的数学思维。开放而有挑战性的练习，不同层次的学生都能参与其中，他们尽情地说，有理有据地争辩，运算技能和逻辑思维能力在题组练习的过程中悄然提升。

总之，在数的运算教学中，算理的理解是核心的环节。我们要精心设计教学环节，紧密联系生活创设情境，让学生主动实现对算理的原型理解。课堂是动态生成的，学生中蕴藏着丰富的资源和巨大的潜能，我们要开放课堂，从具象到抽象，让学生在多样表征中完成对算理的直观理解，在多样化的练习中加深对算理的过程理解，同时要处理好算理与算法之间的联系，循“理”入“法”，让学生在收获运算能力的同时，积淀终身有用的思想方法，最终促进核心素养的形成。