纳米时栅的电气参数与误差特性研究

孟 瑶，周启武，郑方燕，刘小康，施 海

(重庆理工大学 机械检测技术与装备教育部工程研究中心， 重庆 400054)

纳米测量技术广泛应用于航天科学、材料科学、生物制药等众多领域，是解决当前和未来高精度、高分辨率问题的关键[1-2]。目前，位移测量能达到纳米级的设备主要有光栅和激光干涉仪。光栅是以栅距作为测量基准，抗干扰能力强、精度高，但是栅线制造的精密程度会直接影响光栅测量系统的测量精度和分辨率[3-5]。当光栅栅距逐渐接近光波波长时，光学衍射的现象会越发明显，用进一步增加栅线密度的方法提高分辨率效果十分有限，可以说由于光学衍射极限问题致使光栅的精度无法进一步提高[6-7]。激光干涉仪是以激光波长作为测量基础，其精度高于光栅，但是极易受到空气温度、湿度、大气压力等环境因素的影响，并且抗干扰能力低[8-9]。除此之外，绝大多数情况下都需要靶镜来辅助测量，但是装配靶镜的场合不适用于大多的实际应用场合[10-11]。因此，激光干涉仪通常只作为校对基准而不能广泛用于工业测量。

纳米时栅是一种基于交变电场利用驻波合成电行波的方法而研制的位移传感器[12-14]。运用“时空转换”原理，用时间构成空间测量基准，误差直接溯源回时间，利用人类目前对时间的测量精度比空间高3个数量级的优势，降低了传感器对制造工艺的要求，提高了测量精度[15-17]。本文分析了电气参数对传感器精度的影响，结合时栅结构主要分析了传感器单元之间的阻抗特性与误差的关系。首先建立时栅的电路模型，运用仿真软件代入不同参数值，得到仿真结果，再设计实验验证阻抗特性与误差特性之间的影响关系。

1 纳米时栅传感器工作原理

纳米时栅由动尺和定尺两部分组成，如图1所示。动尺感应电极是由两列区间在[0,π]上的函数曲线y=sin[π/(W-I)]x与y=0所构成的宽度为W-I、间隔距离为I的半正弦形极片对称排布而成的阵列。定尺上的激励电极由两排宽度为W-I且间隔距离为I的矩形极片各自阵列而成，每排奇数号极片和偶数号极片分别用金属导线连在一起，其中定尺上的两排极片在空间上起始位置相差W/2的距离，这个距离在空间上就形成正交关系。从定尺上的4个极片处分别依次输入4路频率ω相等、幅值为Am的激励信号U+S、U+C、U-S、U-C：

(1)

为便于下面理论分析，将激励U+S、U-S统称为S路，激励U+C、U-C统称为C路。

图1 纳米时栅结构示意图

动尺正对于定尺平行安装，保持间隙d，在动尺沿定尺极片排布的方向平行移动时，动尺感应极片与定尺激励极片正对的重合面积会随着时间改变，动定尺极片上的电极构成电容极板。S路动尺极片与U+S、U-S路定尺极片正对部分面积形成平板电容C1、C2。C路动尺极片与U+C、U-C路定尺极片正对部分面积形成平板电容C3、C4，在同一动尺极片覆盖下的两电容为差动电容。S路和C路的输出方式一致。本文只对S路进行分析，S路的差动电容电路图与结构示意图如图2所示。

图2 差动电容电路示意图

根据电路叠加定理可以求得输出电压UO：

(2)

其中：Ui是输入的激励信号；Z1和Z2分别为C1和C2的容抗；Z0为电桥平衡时初始容抗。

将动尺感应极片沿定尺的移动等效为定尺阵列极片沿动尺感应极片的移动，利用余弦函数的变上下限积分得到重合面积的变化量为

(3)

其中：L为感应电极长度；ΔS为动尺与定尺之间有效重合面积；S0为最大重合面积；Wd为极片宽度。

将式(3)代入式(2)得：

(4)

正弦路激励与余弦路激励在时间上是正交关系，所以另一路驻波信号US为

(5)

最终两路驻波信号合成一路行波信号：

(6)

将行波信号UO通过前置电路进行放大滤波整形并输出方波后输入FPGA中与同频参考信号Uf进行比相，利用高频时钟脉冲对相位差插补，记录插补的脉冲数，求得相位差，直接利用FPGA计算处理后得到动尺与定尺之间的相对位移量。

2 电路模型及误差分析

2.1 传感器电路模型

传感器采用平板电容结构，与周围的金属导体之间形成分布电容，同时电极和引线自身也带有分布电阻，这些分布参数都会使交变电场信号发生畸变，从而带来测量误差，影响测量精度。电路板内部的传输线分布参数较小，对信号传输的影响可以忽略，传感器单元的分布参数对信号传输影响较大，其中以传感单元之间的阻抗(后面统称为“单元阻抗”)、电感及分布电容为主。

用放大器采集驻波信号。放大器的输入电阻可以认为是无穷大，但是集成运算放大器的第一级差动放大器需要外部提供稳定的直流偏置电压，而电路节点上没有对地的直流通路，所以需要设置输入电阻R为运算放大器提供直流工作点。综合上述因素，建立了一个完整的电路模型，如图3(a)所示。

图3中，电容C1与C2构成S路，电容C3与C4构成C路，C5和C6为定尺相邻极片之间的分布电容。Z1、Z2、Z3、Z4分别表示4路激励电极的阻抗，R为放大器的输入电阻。对S路进行分析，其电路模型如图3(b)所示。

图3 含有电气参数的电路模型

根据叠加定理、节点电压法将U-S视为短路，对n1、n2、n3节点列KCL电路方程为：

(7)

将U+S视为短路,对n1、n2、n3节点列KCL电路方程为：

(8)

式中：Yz1、Yr5为单元阻抗；Z1为放大器输入电阻R的导纳；Yc1、Yc2为平板电容C1、C2的容纳；Yc5为S路分布电容的容纳。当只有S路激励作用时，n2点输出的电压为：

(9)

同理可得，当只有C路激励作用时，n2点输出的电压为：

(10)

式中：Yz3、Yz4为单元阻抗；Z3、Z4的导纳；Yc3、Yc4为平板电容；C3、C4的容纳；Yc6为C路极片分布电容的容纳。

根据纳米时栅的行波合成原理，在理想情况下，4路输入信号的幅值大小相等，Z1=Z2=Z3=Z4→0，C5=C6=0，R→∞，则行波表达式可以写成：

(11)

将式(11)化简得：

当a=b时，行波UO化简后与式(6)相同，说明理论推导正确。由此可以看出，理想情况下输出行波信号的相位将不再受激励信号的频率和电容变化的影响，幅值的大小变化取决于各组差动电容差值。在通常状态下，定尺激励电极的4路阻抗一般不一致，即Z1≠Z2≠Z3≠Z4，此时输出的行波信号幅值和相位不仅与差动电容差值有关，还与单元阻抗的大小有关，以下针对单元阻抗对传感器误差特性的影响做详细分析。

2.2 单元阻抗仿真

由于分布参数的存在，信号不能按照理想模型进行传输，分布参数值的大小影响着信号误差的大小。本文在单元阻抗的不同取值下对误差特性的影响进行理论分析时，假设分布电感为0，将不同的单元阻抗值代入模型中，仿真了2路单元阻抗不等和4路单元阻抗不等状态下的行波信号。

2.2.12路阻抗不等

(12)

由于cos(θ1-θ2)≠0，幅值A3不是常数，一个周期内幅值会先增大后减小再增大又减小。将式(12)代入Matlab中运行得到行波幅值变化曲线和相位误差曲线，如图4所示。

图4 2路单元阻抗不等时幅值相位变化

观察图4(a)幅值变化曲线可更直观地看出：在1个周期内，行波幅值曲线有2个波峰。由此可见，2路驻波单元阻抗不等带来的是二次误差。图4(b)为相位角误差曲线，代表θ1和θ2取不同的值时的误差曲线，随着位移的变化，相位角在1个周期中都会有2次变化。

2.2.24路阻抗不等

将式(13)放入Matlab中运行得出行波幅值和相位变化曲线，如图5所示。

不同线型的曲线对应Aa1、Aa2、Bb1、Bb2取不同的值时的行波幅值变化曲线，从行波幅值变化和相位误差曲线中可以观察到行波幅值在y方向有个偏移量，由此可看出这必然会给测量结果引入1个一次误差，相位变化曲线在1个周期内会变化2次，因此相位偏移的情况下会引入二次误差成分。

图5 4路单元阻抗不等幅值相位变化

从电路模型中可以看出：定尺4路激励中都含有单元阻抗。结合所推导的公式来看，单元阻抗的取值会影响最终合成的行波的幅值和相位。本文着重分析了在分布电感为零时2路单元阻抗不等和4路单元阻抗不等时的情况。从中可以得出：在引线电阻不等的情况下会直接导致2路驻波幅值不等、相位偏移，或者单路驻波US路和U+S、U-S两组，UC路和U+C、U-C两组输出信号驻波幅值不等、相位偏移。若是合成行波的2路驻波中的阻抗不相等，则会出现二次谐波误差，若是合成驻波的US路和UC路的正负路单元阻抗都不等，则会同时出现一次和二次谐波误差。

3 实验验证

为了验证单元阻抗对时栅位移测量误差特性的影响，搭建了精度测试实验平台，如图6所示。传感器定尺长600 mm，动尺长55 mm，宽均为32 mm，两列分别为149对极和150对极。将传感器的定尺安装在美国Aerotech公司的ABL200精密直线气浮导轨上并随其移动，动尺安装在可进行安装调整的Physik InstrumenteH-811六自由度微动平台上。通过调整六自由度微动平台的位置，保证动尺平行安装于定尺正上方，同时可以调整动定尺之间的间隙。整个实验平台处于千级实验室，温度和相对湿度恒定为24 ℃和40%。

1.激光干涉仪上位机；2.上位测量系统；3.PI六自由度安装平台；4.PI控制系统；5.纳米时栅(上方定尺，下方动尺。6.Labview激励系统

图6 实验平台装置

3.1 传感器精度实验

单元阻抗主要来自传感器上的金属导电极片，4路激励电极之间因为制造的原因形成的阻抗各有差异，借助万用表测得传感器4路极片阻抗分布依次为0.21、0.24、0.23、0.21 Ω。

前面通过理论推导分析了单路和2路引线电阻不等的情况下的误差特性曲线规律，下面借助实验进行验证。通过调整间隙d=1.2 mm，在此间隙下导轨对传感器每个对极(即4 mm)进行200点的采样。设置上位机测量程序点数，测量时栅样机数据，并以光栅测量值为基准，根据时栅测量值与光栅测量值的差进而得到时栅误差值。对传感器进行测试，测得误差结果如图7所示。从图7的误差曲线可以看出：在分布电感不存在而单元阻抗不等导致2路驻波幅值不等、相位偏移时，曲线呈M型，频谱分析可知对极内主要为一次和二次谐波成分。实验结果与理论分析一致，说明了引线电阻的确是影响误差特性的电气参数之一。2路单元阻抗不等或是单路单元阻抗不等都会影响行波的合成，从而带来误差。

图7 对极内误差曲线

3.2 优化改进

既然合成行波的2路驻波中的单元阻抗不等会带来二次误差的成分，则需要对此作出改进。利用美国NI公司的Labview激励系统，调整4路激励的幅值以及相位，通过示波器观察当行波信号标准后，重复上述实验过程，验证用更改激励的方式能否改变由于单元阻抗带来的谐波误差，最后测得的数据如图8所示。

图8 优化后对极内误差曲线

从图8中可以看出：优化后在一个对极内误差值为0.8 μm，相比优化之前有了较大的进步。通过频谱分析，误差成分中一次和二次的谐波误差成分明显减小，再一次验证了仿真是正确的。

4 结束语

本文首先分析了纳米时栅传感器基本测量原理，建立了传感器电路模型，探究了电气参数对纳米时栅测量误差的影响，并着重分析了对测量误差影响最大的单元阻抗参数。搭建了传感器实验平台，对传感器的位移误差进行了测量。由实验结果可知：一次与二次谐波误差是由于激励幅值不等和相位偏移而引入，进一步验证了理论分析的正确性。据此，明确了单元电阻对时栅传感器的误差特性的影响规律。同时，利用时空转换原理，通过调节激励信号参数的方法减小了位移测量误差，提高了纳米时栅传感器的精度。