由圆的两条性质所想到的

石磊

【中图分类号】G633.3       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）15-0266-01

圆有两个很重要性质：

性质1：直径所对圆周角为直角;

性质2：圆内任意一条弦的中点与圆心的连线垂直于这条线.

在解决直线与圆相交的问题时上述两条性质起到了很大的作用，而圆与椭圆又是“近亲“，所以运用类比的思想笔者猜想椭圆也应有类似的结论：

结论1：若AB是过椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）的中心的任意一条弦，椭圆上任意一点P，若直线PA，PB的斜率都存在不为0分别设为k1，k2，则k1，k2=-b2〖〗a2。

证明：如图1，AB为过椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）中心的任意一条弦，P为椭圆上任意一点，

设PA所在直线斜率为k1，PB所在直线的斜率为k2，且斜率存在不为0，

P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1）则有：

k1=y1-y0〖〗x1-x0，k2=-y1-y0〖〗-x1-x0，

k1k2=y1-y0〖〗x1-x0·-y1-y0〖〗-x1-x0=y20-y21〖〗x20-x21=b2（1-21〖〗a2）-b2（1-x20〖〗a2）〖〗x20-x21=-b2〖〗a2

结论2：若AB是椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）的任意一条弦，M为AB中点，O为椭圆的对称中心，直线AB，OM的斜率存在不为0分别设为k1，k2，则k1k2=-b2〖〗a2.

证明：如图2，AB为椭圆x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）的任意一条斜率存在且不为0的弦，不妨设

直线AB的方程为y=k1x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）将A，B代入到椭圆方程中有：〖JB（{〗x21〖〗a2+y21〖〗b2=1

x22〖〗a2+y22〖〗b2=1〖JB）〗两式作差得x21-x22〖〗a2+y21-y22〖〗b2=0化简得：

（x1-x2）（x1+x2）〖〗a2+（y1-y2）（y1+y2）〖〗b2=0由已知x1≠x2，x1+x2≠0两边同时除以（x1-x2）（x1+x2）得：

1〖〗a2+（y1-y2）（y1+y2）〖〗b2（x1-x2）（x1+x2）=0得到：1〖〗a2+（y1-y2）〖〗b2（x1-x2）2y0〖〗2x0化简得：1〖〗a2+1〖〗b2k1k2=0所以k1k2=-b2〖〗a2.

〖XC63.JPG;%25%25〗

图1           圖2

焦点在x轴上的椭圆有上述的结论，那么焦点在y轴上的椭圆也有这样的结论：

结论3：若AB是过椭圆y2〖〗a2+x2〖〗b2=1（a>b>0）的中心的任意一条弦，椭圆上任意一点P，若直线PA，PB的斜率都存在不为0分别设为k1，k2，则k1k2=-a2〖〗b2。

结论4：若AB是椭圆y2〖〗a2+x2〖〗b2=1（a>b>0）的任意一条弦，M为AB中点，O为椭圆的对称中心，直线AB，OM的斜率存在不为0分别设为k1，k2，则k1k2=-a2〖〗b2.

证明同结论1，结论2.

〖XC64.JPG;%25%25〗

图3                图4

有上述猜想后笔者又联想到，椭圆与双曲线又是一对“近亲“，如果可以根据圆的性质得到椭圆的一组结论，笔者猜想双曲线也应有类似的一组结论：

结论5：若AB是过双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）的中心的任意一条弦，双曲线上任意一点P，若直线PA，PB的斜率都存在不为0分别设为k1，k2，则k1k2=b2〖〗a2。

证明：如图5，AB为过双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）中心的任意一条弦，P为椭圆上任意一点，

设PA所在直线斜率为k1，PB所在直线的斜率为k2，且斜率存在不为0，

P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1）则有：

k1=y1-y0〖〗x1-x0，k2=-y1-y0〖〗-x1-x0，

k1k2=y1-y0〖〗x1-x0·-y1-y0〖〗-x1-x0=y20-y21〖〗x20-x21=b2（x21〖〗a2-1）-b2（x20〖〗a2-1）〖〗x20-x21=b2〖〗a2

结论6：若AB是双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）的任意一条弦，M为AB中点，O为双曲线的对称中心，直线AB，OM的斜率存在不为0分别设为k1，k2，则k1k2=b2〖〗a2.

证明：如图2，AB为双曲线x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）的任意一条斜率存在且不为0的弦，不妨设

直线AB的方程为y=k1x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）将A，B代入到双曲线方程中有：〖JB（{〗x21〖〗a2-y21〖〗b2=1

x22〖〗a2-y22〖〗b2=1〖JB）〗两式作差得x21-x22〖〗a2-y21-y22〖〗b2=0化简得：

（x1-x2）（x1+x2）〖〗a2-（y1-y2）（y1+y2）〖〗b2=0