浅谈圆的性质在圆锥曲线中的推广

周仁国，陈 明，温 艺

（1.遵义师范学院数学学院，贵州遵义563006；2.正安县第八中学，贵州遵义563400）

1 引言

圆C的半径为r，点A,B在圆上，满足条件：由垂径定理知圆心到直线的距离即弦心距，这一性质（以下简称性质）推广到椭圆、双曲线、抛物线中，具有相似结论，这些结论是高考的常考内容.

2 性质在椭圆中的推广

2.1 猜想结论与分析

2.2 性质在椭圆中的推广

椭圆C上两点A,B，则原点O到直线AB的距离

（2），由RtAOB面积关系：，将（1）（2）代入有：

设AB所在的直线：y=kx+t与椭圆交于A（x1，y1），B(x2,y2)

3 性质在双曲线中的推广

3.1 双曲线与椭圆的相似性分析

双曲线与椭圆相似性比较，如下表：

曲线 定义 离心率焦点三角形面积 弦长公式椭圆images/BZ_109_384_1822_401_1838.pngimages/BZ_109_1031_1825_1049_1843.png双曲images/BZ_109_1030_1918_1047_1936.png线

设想双曲线C上两点AB，则的充要条件是：原点O到直线AB的距离

3.2 双曲线推广性质的证明

证明与椭圆中的证明相似，要说明的一点是为什么要b＞a，事实上当b≤a时，两渐近线垂直或所成角为锐角，双曲线任意两点（非原点）AB都不满足

A（tcosa tsina），B（sina tcosa）代入有

4 性质在抛物线中的推广

4.1 引理

设直线i过点(m,0)，斜率为k，交y2=2px于A（x1，y1），B(x2,y2).联立

（当m＞ 0，x1、y1异号的；当m＜ 0，x1、y1同号的，当m=0，y1=x1=0）于是得结论

4.2 性质推广与证明

抛物线与椭圆及双曲线是有区别的.设A，B是y2=2px上非原点的两动点，弦心距的最大值dmax=2p.

此性质的另一种表述是：A，B是y2=2px上非原点的两点直线AB过定点(2p，0).

5 结语

圆是圆锥曲线中的特殊曲线，普通高中数学教材选修4-4(实验)讲到有关圆的伸缩变换问题，实质是圆通过仿射变换成椭圆，因此圆的很多性质是可推广到椭圆的，这也是比较与类比思想方法的体现，结论的推广是重要的，多年的高考也经常见到，如2017年的高考20题是关于抛物线问题第二问便是推广结论的应用，教师在教学过程中和学生在学习的过程认真钻研这方面的问题，有关圆锥曲线的问题便可迎刃而解了，希望本文对广大同仁和高考学子有所启示。