考虑铁芯磁饱和的开关磁阻电机电感及转矩解析建模

左曙光,刘明田,胡胜龙

(同济大学新能源汽车工程中心,201804,上海)

开关磁阻电机与其他电机相比,具有结构简单、无永磁体、调速范围宽、成本低等优点,可作为电动汽车驱动电机的备选方案[1]。然而,转矩波动是影响其应用的主要问题之一。目前,一般从两个方面来解决转矩波动问题:一是对电机的本体结构进行优化,包括从定子和转子的结构等方面进行优化[2-4];二是使用现代控制理论进行控制,如转矩分配函数控制[5]、转矩预测控制[6]、滑模控制[7]等。然而,由于开关磁阻电机运行时大都处于铁芯磁饱和状态,具有很强的非线性,很难通过建模的方法来对开关磁阻电机的性能进行分析,因此对电机结构方面的优化需要通过大量的有限元仿真来实现,但这将花费大量的时间。所以,建立用于快速评价电机特性的开关磁阻电机数学模型尤为重要。

目前,关于开关磁阻电机电感与转矩建模方面的研究较多,具体包括:司利云等分别利用人工神经网络和最小二乘支持向量机等机器学习算法对磁链曲线族数据进行学习,建立了电机模型[8-9];Mikail等预先建立了磁链-电流-转子位置表,然后使用查表法建立了开关磁阻电机模型[10];Nirgude等利用函数解析法即通过对电感族数据进行参数拟合建立了电机模型[11];Djelloul-Khedda等从磁场的角度对开关磁阻电机进行解析计算,并建立了电机模型[12]。由此可见,目前对开关磁阻电机建模时大都需要磁链曲线族作为建模基础,而以上研究中这些数据都是通过进行大量的有限元仿真或者实验来获得的。

在关于电感/磁链的解析计算方面,主要存在半解析和全解析两种方法。在半解析的方法中,丁文等对5个特殊位置的磁链数据值利用傅里叶级数分解和反正切函数拟合建立了电感模型[13],Chen等对传统的磁链拟合模型进行了修正,建立了快速磁链模型[14],但以上被拟合的磁链数据仍需要有限元仿真或实验获得。在全解析的方法中,Radun仅对开关磁阻电机定子和转子非对齐位置处的电感进行了解析计算[15],Mao等通过对定子和转子的对齐和非对齐这两个特殊位置的电感进行解析计算,而对中间位置处的电感用直线或者直线进行修正来近似表征电感的变化趋势[16-17],但以上方法仅对开关磁阻电机特殊位置处的电感进行解析计算,且精度较差,而且仅适用于施加恒定电流的工况,不能满足实际情况中的分析需求。目前,能同时对特殊位置和非特殊位置下电感进行准确解析的研究较少,且对铁芯磁饱和的处理大都需要借助有限元仿真的结果,具体包括:邓智全等在对无轴承开关磁阻电机气隙磁导推导的基础上,同时对特殊位置和非特殊位置下的电感进行了解析计算,但磁路中忽略了铁芯磁饱和的影响,精度较差[18];Yu等引入铁芯磁饱和导致的磁导率降落量,对考虑铁芯磁饱和影响下的磁链进行了解析计算,但磁导率降落量需要借助有限元仿真来获得[19];Yavuz等使用磁通管法得到了电感的解析结果,但由于是将磁路集中等效,不仅需要对8个气隙位置处的磁导计算分别进行复杂的定义,而且需要额外通过计算或迭代确定铁芯中各部分磁路的面积[20-21]。

从上述文献可知,作为开关磁阻电机建模基础的磁链曲线族目前主要通过有限元仿真或实验方法获得,这将花费大量的时间,不利于对电机的性能进行研究和优化。在电感的解析方面:半解析的方法仍需要借助有限元仿真的结果;全解析的方法分为两类,第一类是仅对特殊位置处的电感进行解析,这显然无法满足实际分析的需求,第二类是对全位置进行电感解析计算,但却基本都需要借助有限元仿真来考虑铁芯磁饱和带来的影响,且大都对磁路进行等效集中划分,对铁芯磁饱和局部性的处理效果不佳。由此可见,对开关磁阻电机电感的解析计算相较于传统的永磁电机更为困难,非线性更严重,这主要是由于开关磁阻电机特有的双凸极结构和运行时存在的更严重的局部铁芯磁饱和导致的。

针对上述问题,本文针对一款6/4极开关磁阻电机,采用分布式等效磁路的方法,并考虑铁芯磁饱和的影响,建立了较为准确的非线性动态电感解析模型,通过该模型能快速获得磁链曲线族,并在此基础上利用能量法建立了转矩的解析模型,与有限元仿真的结果进行了对比验证。

1 电机主要参数

开关磁阻电机的定子和转子均为双凸极结构,定子和转子上均没有永磁体,结构简单。定子仅有集中绕组,转子没有绕组,也没有换向器和滑环等。根据定子和转子的相对位置,采用角度位置与电流斩波相结合的控制方式来开通和关断定子的相电流,从而产生电磁转矩。本文采用的开关磁阻电机的主要参数如表1所示。

2 非线性电感解析计算及有限元验证

2.1 非线性电感解析模型

对开关磁阻电机而言,互感可以忽略[22],因此开关磁阻电机的电感可以用自感表示,解析模型为

表1 开关磁阻电机的主要参数

(1)

式中:L为电感;Ψ为磁链;R为磁路的磁阻;Λ为磁导。

由式(1)可知,磁导Λ是计算开关磁阻电机电感的关键。为准确计算磁导Λ,运用分布式等效磁路原理,将电机的磁路沿周向均匀划分成N0份,如图1所示。

图1 磁场磁路划分

与电路电阻的并联原理类似,可求得该相的等效磁导为

(2)

式中:m、k分别为电感计算的上界和下界所对应磁路的编号;Λn为第n条磁路的磁导,公式为

(3)

其中,Riron,n为第n条磁路铁芯的磁阻,Rair,n为第n条磁路气隙的磁阻,gn为第n条磁路的气隙长度,μ0为真空磁导率,Sn为第n条磁路的截面积,ln为第n条磁路的等效铁芯长度,μiron,n为第n条磁路的铁芯磁导率。

由于电机的磁路沿周向均匀划分为N0份,故Sn可用公式表示为

Sn=2πRslz/N0

(4)

从式(1)～(4)可知,只要确定了电感的计算范围(式(2)中的k、m)以及每条磁路中的未知参量(式(3)中的gn、μiron,n、ln),即可得到开关磁阻电机的电感。

2.1.1 电感的计算原则 电感计算范围的确定本质上是要确定式(2)中k和m的值,根据开关磁阻电机的结构以及运行过程中磁力线分布的特点,按照以下原则来计算电感。

(1)在定子和转子的齿极重叠之前,磁力线的分布比较分散,所以电感L由定子极两边距离分别在θs/2范围内的磁场决定,此时电感取决于该范围内每条磁路的计算结果,即电感计算的上下界m、k的取值为定值,如图2所示。

图2 定子和转子的齿极重叠之前的电感计算区域

(2)在定子和转子的齿极重叠之后,磁力线集中分布在定子和转子的齿极所对应的区域,故电感L由定子和转子的齿极对应区域的磁场决定,此时电感值取决于该范围内每条磁路的计算结果,即电感计算的上界m的取值为定值,而下界k的取值随着转子位置发生变化,如图3所示。

图3 定子和转子的齿极重叠之后的电感计算区域

2.1.2 等效气隙长度 为确定每条磁路中的等效气隙长度gn,运用磁通管法对开关磁阻电机磁场的等效气隙长度进行计算。若将电机的气隙磁场划分成定子区域、转子区域以及中间区域,则电机磁场在圆周上的等效气隙长度g(θ,t)可表示为

g(θ,t)=g0+g1(θ)+g2(θ,t)

(5)

式中:g0为电机中间部分的气隙长度;g1(θ)为定子的等效气隙长度;g2(θ,t)为转子的等效气隙长度;θ为电机圆周的空间角度;t为转子转过的时间。第n条磁路的气隙长度gn为

gn=g(θn,t)

(6)

其中θn为第n条磁路对应的空间角度。

由于电机中间部分的气隙长度g0为定值,取为4×10-4m,所以下面针对定子与转子的等效气隙长度分别进行讨论。

(1)定子的等效气隙长度g1(θ)。图4是定子和转子的等效气隙,可以发现,在定子齿顶处的等效气隙长度为零,而齿侧部分的等效气隙长度是与圆周空间角度有关的同心圆弧长,图4中的L1和L2分别表示定子和转子部分同心圆的半径。孙剑波等指出,在磁通管法中使用直线及圆弧代替实际的磁力线会引入误差,可以通过引入定子磁极两侧的倾角β1和转子磁极两侧的倾角β2进行修正[23]。所以,定子部分的等效气隙长度可以表示为

(7)

(8)

式中αsr为定子和转子极轴线之间的夹角。

将定子的等效气隙长度进行傅里叶分解,得到

(9)

(10)

图4 定子和转子的等效气隙

(2)转子的等效气隙长度g2(θ,t)。在不同时刻,转子的等效气隙长度的空间分布不一致,可以表示为

(11)

(12)

对式(11)进行傅里叶级数分解可得

(13)

(14)

式中ω为电机的角速度。

2.1.3 等效铁芯长度 当开关磁阻电机的铁芯局部磁饱和程度较小时,铁芯的磁导率远大于气隙的磁导率。图5是由铁芯材料的磁化曲线获得的铁芯磁导率μiron与气隙磁通密度B的关系曲线,可以看出:铁芯磁导率在铁芯磁饱和程度较小(即气隙磁通密度B<1.2 T)时取值为0.004～0.009 H/m,约为真空磁导率(1.26×10-6H/m)的3 200～7 100倍,相较于气隙的磁阻该部分铁芯磁阻可以忽略;当铁芯局部磁饱和程度较高时,气隙磁通密度可达2.5 T,此时铁芯的磁导率为1×10-5H/m,仅为气隙磁导率的8倍,故该部分铁芯磁阻不能忽略。所以,铁芯的磁阻可简化为仅考虑铁芯局部磁饱和部分影响的等效铁芯磁阻。

图5 铁芯磁导率μiron与气隙磁通密度B的关系

为确定每条磁路中的等效铁芯长度ln,绘制了开关磁阻电机的气隙磁通密度云图,如图6所示,γ为定子和转子的齿极重合角,可以发现:当0≤γ<2βs/3时,定子和转子的齿极中铁芯磁饱和区域的径向长度基本保持不变,如图6a所示;当2βs/3≤γ<βr时,铁芯磁饱和区域显著变大,如图6b所示;当βr≤γ<βs时,定子和转子的齿极中铁芯磁饱和区域的径向长度又基本保持不变,如图6c所示。根据上述开关磁阻电机运行过程中铁芯磁饱和区域的变化规律,可以将等效铁芯长度ln做如下定义:当0≤γ<2βs/3时,等效铁芯长度为定子和转子齿高之和的1/2;当2βs/3≤γ<βr时,等效铁芯长度随定子和转子的齿极重合角线性变化;当βr≤γ<βs时,等效铁芯长度为定子和转子的齿高之和。等效铁芯长度ln的数学公式为

(15)

(a)0<γ<2βs/3 (b)2βs/3<γ<βr (c)βr<γ<βs 图6 铁芯磁饱和区域的气隙磁通密度变化云图

2.1.4 铁芯磁导率 为确定每条磁路中的铁芯磁导率μiron,n,从气隙磁通密度B的角度来分析铁芯磁导率。定子和转子的铁芯磁导率可以表示为

(16)

式中:Fn为第n条磁路中励磁绕组产生的磁动势;Bn为第n条磁路中的气隙磁通密度。

励磁绕组的磁动势F在空间圆周上的分布可以表示为

(17)

所以,第n条磁路中励磁绕组产生的磁动势Fn为

Fn=F(θn)

(18)

对空间分布的磁动势F(θ)进行傅里叶分解得到

(19)

(20)

(21)

图7 求解μiron的迭代计算模型

在式(16)中,第n条磁路中的气隙磁通密度Bn和铁芯磁导率μiron,n均为未知量,因此直接运用式(16)无法获得准确的μiron,n。但是,铁芯磁导率μiron与气隙磁通密度B密切相关,其关系曲线由图5可知。所以,为得到满足铁芯磁导率变化曲线的μiron,n,构建了迭代计算模型,如图7所示,图中:Fn为由式(17)和式(18)计算得到的第n条磁路中励磁绕组产生的磁动势,是从电流的角度分析得到的磁动势;Fc,n为磁通量和考虑铁芯磁导率的磁阻相乘得到的第n条磁路中的磁动势,是从磁场的角度得到的磁动势。

根据上述方法可求得计算电感所需的各未知参量gn、μiron,n、ln,将式(2)～(6)与式(15)(16)代入式(1),即可得到电感的解析模型为

(22)

2.2 非线性电感有限元仿真验证

为了验证非线性电感解析模型的准确性,根据表1所示的结构参数建立了一个6/4极开关磁阻电机的电磁计算仿真模型,如图8所示。铁芯和绕组材料参数的设置与实际材料一致,转速设置为额定转速4 000 r/min,气隙网格设置为滑移网格,仿真步长设置为5×10-6s,采用与实际情况一致的280 V直流电压源供电。

图8 6/4极开关磁阻电机有限元仿真模型

图9为实际运行过程中开关磁阻电机在机械角度位置控制下的电感解析计算结果与有限元仿真结果,解析计算过程中N0取值为512,可以看出,解析计算结果和有限元仿真结果一致,误差保持在9%以内。与仅对特殊位置处电感进行解析的方法相比,本文方法不仅适用于施加恒定电流的工况,而且能满足电机在实际运行过程中分析的需求。

图9 实际运行过程中的电感

(a)I=5 A

(b)I=10 A

(c)I=15 A

(d)I=20 A图10 恒定电流下的电感

为了验证利用本文提出的电感解析模型快速得到的磁链曲线族的准确性,在恒定电流分别为5 A、10 A、15 A、20 A的情况下,对定子和转子极由非对齐位置转动到对齐位置时的电感进行解析计算,并与有限元仿真结果进行了对比,结果如图10所示。由图可以看出:二者总体吻合良好,接近对齐位置(即铁芯磁饱和严重位置)处的误差均在3%以下,其余位置处的误差也在9%以内。

3 转矩解析计算及有限元仿真验证

使用能量法来计算开关磁阻电机的瞬时电磁转矩Tek,公式[24]为

(23)

(24)

Ψ=Li

(25)

式中:Wc为磁共能;θe为转子转角;i为电流。

基于第2节所提的非线性电感解析模型,本文求解的磁链曲线族如图11所示。

图11 磁链曲线族的解析计算结果

(a)A相

(b)B相

(c)C相

(d)合成转矩图12 转矩解析结果与有限元仿真结果

图12为开关磁阻电机仅在机械角度位置控制下的电磁转矩解析计算结果和有限元仿真结果,可以看出,二者吻合良好,峰值处误差均在6%以内。

4 结 论

本文首先建立了考虑电机参数的非线性电感解析模型,然后基于非线性电感解析模型求解得到了磁链曲线族,再运用能量法对电机的电磁转矩进行了解析计算,最后通过解析结果与有限元结果的对比,验证了非线性电感解析模型和转矩解析结果的准确性。

本文所提的非线性电感解析模型考虑了铁芯磁饱和的影响,能较为准确地求解动态电感的变化曲线,有利于进一步开展对开关磁阻电机性能的研究。目前在针对开关磁阻电机控制策略的研究中,有相当一部分需要大量的磁链曲线族数据[25]或者需要对转矩进行估计[26-28],而利用本文所提的电感解析模型能够快速地得到磁链曲线族数据,在此基础上结合能量法也能快速地预测转矩,这都有利于开关磁阻电机的控制。相较于传统的需要使用有限元仿真或者实验的方法,能够节省大量时间。

此外,本文提出的电感解析模型由于采用分布式等效磁路的建模方法,不仅能包含电机参数,而且与集中式的等效磁路相比还考虑了不均匀气隙的影响,所以在通过对电机气隙的不均匀化来提高开关磁阻电机性能的过程中仍可以使用[2]。